Numa casa, a cada dia n estão 4 n^2-2 n+5 crianças. A quantidade de fatias de bolo feita a cada dia (e consumida no mesmo) é dada por k n^2+5 n+2. Sabendo que depois de MUITOS dias, são feitas aproximadamente duas fatias de bolo por criança, determine k.
8 2 As outras alternativas estão incorretas 4 12
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma casa onde, a cada dia $ n $, tem $ 4n^{2} - 2n + 5 $ crianças. E a quantidade de fatias de bolo feitas por dia é dada por $ kn^{2} + 5n + 2 $. A gente precisa encontrar o valor de $ k $ sabendo que, depois de MUITOS dias (ou seja, quando $ n $ é muito grande), são feitas aproximadamente duas fatias de bolo por criança.
Para resolver isso, vamos focar nos termos que mais influenciam quando $ n $ é grande, que são os termos de $ n^{2} $.

Passo 2

Quando $ n $ é muito grande, os termos com menores potências de $ n $ (como $ n $ ou constantes) ficam meio que de lado, pois têm pouca influência no resultado final. Então, podemos simplificar as expressões considerando só os termos de $ n^{2} $:
  • Número de crianças ≈ $ 4n^{2} $
  • Número de fatias de bolo ≈ $ kn^{2} $

Passo 3

Sabemos que, para grandes valores de $ n $, o número de fatias de bolo é aproximadamente o dobro do número de crianças. Então, podemos montar a seguinte relação:
n
Simplificando:
kn^2 approx 2 times 4n^2

Passo 4

Agora, para encontrar $ k $, vamos dividir os dois lados da equação por $ n^{2} $:
k

Resposta

O valor de $ k $ é 8.

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