Uma casca esférica condutora, de raio a, com centro na origem, apresenta um potencial elétrico:
V=\left\{\begin{array}{cc} V_{o} & r \leq a \\\ V_{o} a / r & r>a \end{array}\right.
com a referência zero no infinito. Calcule a energia armazenada que este potencial representa. (Valor 1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica condutora de raio a\) que, em regime estacionário, tem potencial \[V(r)= \begin{cases} V_{0}, & r\le a,\\\ \dfrac{V_{0}\,a}{r}, & r>a, \end{cases}
referido a (V(\infty)=0]. Queremos a energia eletrostática armazenada, usando a ideia de energia no campo elétrico:
U = \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{\text{todo o espaço}}E^{2}\,d\tau.ç

Passo 2

Calculamos o campo elétrico \mathbf{E}=-\nabla V. Como V é constante para r\le a,
\mathbf{E}(r)=\mathbf{0},\quad r\le a.
Para r>a,
V(r)=\frac{V_{0}a}{r} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = -\frac{d}{dr}\Bigl(\frac{V_{0}a}{r}\Bigr) = \frac{V_{0}a}{r^{2}}
na direção radial.

Passo 3

A energia no campo é
U = \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{r=0}^{\infty}E^{2}\,d\tau = \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{r=a}^{\infty}\Bigl(\frac{V_{0}a}{r^{2}}\Bigr)^{2}4\pi r^{2}\,dr,
pois E=0 para r\le a e o volume esférico dá d\tau=4\pi r^{2}dr.

Passo 4

Avaliaremos
U = \frac{\varepsilon_{0}}{2}4\pi V_{0}^{2}a^{2} \int_{a}^{\infty}\frac{1}{r^{4}}\,r^{2}dr =2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}a^{2} \int_{a}^{\infty}r^{-2}dr.
Como
\int_{a}^{\infty}r^{-2}dr =\Bigl[-\frac{1}{r}\Bigr]_{a}^{\infty} =0-(-\tfrac{1}{a}) =\frac{1}{a},
segue
U =2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}a^{2}\cdot\frac{1}{a} =2\pi\varepsilon_{0}a\,V_{0}^{2}.

Resposta

U = 2\pi\varepsilon_{0}\,a\,V_{0}^{2}.

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