2 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - A energia potencial de interação entre dois átomos de uma molécula diatômica é, aproximadamente,
que é chamada energia potencial de Van der Waals, sendo x a distância entre os átomos (a e b são constantes positivas).
a) Ache a força de interação.
b) Considerando que um dos átomos é muito pesado e permanece aproximadamente em repouso, enquanto o outro se move em linha reta, descreva os possíveis movimentos, analisando a curva de energia potencial.
a) Ache a força de interação.
b) Considerando que um dos átomos é muito pesado e permanece aproximadamente em repouso, enquanto o outro se move em linha reta, descreva os possíveis movimentos, analisando a curva de energia potencial.
Passo 1
O enunciado nos dá a energia potencial de Van der Waals entre dois átomos de uma molécula diatômica:
com
,
constantes e
a distância entre os átomos.
Conteúdo: mecânica clássica, energia potencial e força conservativa, movimentos unidimensionais por análise da curva .
O que precisamos:
Conteúdo: mecânica clássica, energia potencial e força conservativa, movimentos unidimensionais por análise da curva
O que precisamos:
- Usar a relação
para achar a força. - Estudar a forma de
(limites e extremum) e usar conservação de energia
para descrever possíveis movimentos.
Passo 2
Cálculo da força:
Derivando em relação a
:
Logo,
Passo 3
Determinar o ponto de equilíbrio (extremo de
) resolvendo
:
Neste ponto,
atinge seu valor mínimo
.
Passo 4
Análise qualitativa de
:
- Quando
, o termo predomina e . - Quando
, ambos os termos vão a zero e . - Há um único mínimo em
.
Isso significa que a curva de
forma um poço de potencial finito de profundidade
, com paredes verticais para
e um platô em 0 para
.
Passo 5
Descrições dos movimentos pelo conservamento de energia total
:
- Se
: não há região acessível ( ), movimento proibido. - Se
: o átomo fica em repouso em (equilíbrio estável). - Se
: o átomo oscila harmonicamente entre duas distâncias de inversão e tais que (movimento ligado). - Se
: separatriz; o átomo parte de uma distância finita e chega a com velocidade . - Se
: o átomo supera o platô de e afasta-se para com velocidade final (movimento livre ou espalhamento).
Resposta
(a)
(b)
- Equilíbrio estável em
. - Para energias entre
, oscilações ligadas no poço de potencial. - Para
, o átomo escapa a (movimento não ligado), com sendo o caso limite (separatriz).