2 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - A energia potencial de interação entre dois átomos de uma molécula diatômica é, aproximadamente,
E_{p}(x)=-\left(\frac{a}{x^{6}}-\frac{b}{x^{12}}\right)
que é chamada energia potencial de Van der Waals, sendo x a distância entre os átomos (a e b são constantes positivas).
a) Ache a força de interação.
b) Considerando que um dos átomos é muito pesado e permanece aproximadamente em repouso, enquanto o outro se move em linha reta, descreva os possíveis movimentos, analisando a curva de energia potencial.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia potencial de Van der Waals entre dois átomos de uma molécula diatômica:
E_{p}(x)=-\Bigl(\frac{a}{x^{6}}-\frac{b}{x^{12}}\Bigr),
com a>0, b>0 constantes e x a distância entre os átomos.
Conteúdo: mecânica clássica, energia potencial e força conservativa, movimentos unidimensionais por análise da curva E_{p}(x).
O que precisamos:
  1. Usar a relação \displaystyle F(x)=-\frac{\mathrm{d}E_{p}}{\mathrm{d}x} para achar a força.
  2. Estudar a forma de E_{p}(x) (limites e extremum) e usar conservação de energia
    \displaystyle E=\tfrac12m\dot x^{2}+E_{p}(x) para descrever possíveis movimentos.

Passo 2

Cálculo da força:
E_{p}(x)=-\frac{a}{x^{6}}+\frac{b}{x^{12}}.
Derivando em relação a x:
\frac{\mathrm{d}E_{p}}{\mathrm{d}x} =-\Bigl(-6\,\frac{a}{x^{7}}+12\,\frac{b}{x^{13}}\Bigr) =6\,\frac{a}{x^{7}}-12\,\frac{b}{x^{13}}.
Logo,
F(x)=-\frac{\mathrm{d}E_{p}}{\mathrm{d}x} =-\Bigl(6\,\frac{a}{x^{7}}-12\,\frac{b}{x^{13}}\Bigr) =12\,\frac{b}{x^{13}}-6\,\frac{a}{x^{7}}.

Passo 3

Determinar o ponto de equilíbrio (extremo de E_{p}) resolvendo F(x)=0:
12\,\frac{b}{x^{13}}-6\,\frac{a}{x^{7}}=0 \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{b}{x^{13}}=\frac{a}{x^{7}} \;\Longrightarrow\; x^{6}=\frac{2b}{a} \;\Longrightarrow\; x_{\text{eq}}=\Bigl(\frac{2b}{a}\Bigr)^{\!1/6}.
Neste ponto, E_{p} atinge seu valor mínimo E_{\min}=E_{p}(x_{\text{eq}})<0.

Passo 4

Análise qualitativa de E_{p}(x):
  • Quando x\to0^+, o termo b/x^{12} predomina e E_{p}\to+\infty.
  • Quando x\to+\infty, ambos os termos vão a zero e E_{p}\to0^-.
  • Há um único mínimo em x_{\text{eq}}.
Isso significa que a curva de E_{p}(x) forma um poço de potencial finito de profundidade |E_{\min}|, com paredes verticais para x\to0 e um platô em 0 para x\to\infty.

Passo 5

Descrições dos movimentos pelo conservamento de energia total
\displaystyle E=\tfrac12m\dot x^{2}+E_{p}(x):
  1. Se E<E_{\min}: não há região acessível ( \dot x^{2}<0), movimento proibido.
  2. Se E=E_{\min}: o átomo fica em repouso em x_{\text{eq}} (equilíbrio estável).
  3. Se E_{\min}<E<0: o átomo oscila harmonicamente entre duas distâncias de inversão x_{1} e x_{2} tais que E_{p}(x_{1})=E_{p}(x_{2})=E (movimento ligado).
  4. Se E=0: separatriz; o átomo parte de uma distância finita e chega a x\to\infty com velocidade \dot x\to0.
  5. Se E>0: o átomo supera o platô de E_{p}=0 e afasta-se para x\to\infty com velocidade final \sqrt{2E/m} (movimento livre ou espalhamento).

Resposta

(a)
F(x)=12\,\frac{b}{x^{13}}-6\,\frac{a}{x^{7}}.
(b)
  • Equilíbrio estável em \displaystyle x_{\text{eq}}=(2b/a)^{1/6}.
  • Para energias entre E_{\min}<E<0, oscilações ligadas no poço de potencial.
  • Para E\ge0, o átomo escapa a x\to\infty (movimento não ligado), com E=0 sendo o caso limite (separatriz).

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