Questão 3 ( 2,0 pontos) A posição angular de um ponto em uma roda é dada por \theta=2,0-4,0 t^{2}+2,0 t^{3}, onde \theta está em radianos e t \mathrm{~cm} segundos. Determine:
a) A velocidade para qualquer instante:
b) A aceleração para qualquer instante;
c) A posição angular, a velocidade angular e a aceleração do ponto en \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.
d) A aceleração angular é constante? Justifique sua resposta com base na resposta do item b.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição angular de um ponto numa roda como
\theta(t) = 2{,}0 \;-\; 4{,}0\,t^{2} \;+\; 2{,}0\,t^{3},
em que \theta está em radianos e t em segundos. Para resolver, precisamos usar derivação de polinômios: a velocidade angular \omega(t) é a primeira derivada de \theta(t) em relação a t e a aceleração angular \alpha(t) é a segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a velocidade angular
\omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(2{,}0 - 4{,}0\,t^{2} + 2{,}0\,t^{3}\bigr) = -8{,}0\,t + 6{,}0\,t^{2}.

Passo 3

Em seguida, a aceleração angular é
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(-8{,}0\,t + 6{,}0\,t^{2}\bigr) = -8{,}0 + 12{,}0\,t.

Passo 4

Agora, avaliamos \theta, \omega e \alpha em t=2,s:
\theta(2) = 2{,}0 \;-\; 4{,}0\,(2)^{2} \;+\; 2{,}0\,(2)^{3} = 2 - 16 + 16 = 2\;\text{rad},
\omega(2) = -8{,}0\,(2) + 6{,}0\,(2)^{2} = -16 + 24 = 8\;\text{rad/s},
\alpha(2) = -8{,}0 + 12{,}0\,(2) = -8 + 24 = 16\;\text{rad/s}^{2}.

Passo 5

A aceleração angular não é constante, pois em
\displaystyle \alpha(t) = -8{,}0 + 12{,}0\,t
vemos que ela depende de t. Se fosse constante, não teria termo em t.

Resposta

a) \omega(t) = -8{,}0\,t + 6{,}0\,t^{2}.
b) \alpha(t) = -8{,}0 + 12{,}0\,t.
c) Em t=2,s:
\theta(2)=2,rad, \omega(2)=8,rad/s, \alpha(2)=16,rad/ s^{2}.
d) A aceleração angular não é constante, porque \alpha(t) varia com t.

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