Uma casca esférica condutora de raio R está aterrada. Dentro da esfera existe um dipolo elétrico, de tamanho \ell, posicionado na origem. Encontre:
(a) O potencial dentro e fora da esfera. (Dica: V_{\text {dip }}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q \ell \cos \theta}{r^{2}}.)
(b) A densidade de carga induzida.
(c) A carga induzida.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Uma casca esférica condutora de raio R está aterrada (potencial da casca igual a zero).
    • No interior da casca (no próprio centro, origem) existe um dipolo elétrico de “momento” p, com p=q\ell, orientado ao longo de um eixo que chamamos de eixo z. O potencial do dipolo isolado é dado por
    V_{\text{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{p\cos\theta}{r^{2}}.
    • Notação: \theta é o ângulo polar medido em relação ao eixo do dipolo, r é a distância ao centro.
  • O que o enunciado pede:
    (a) O potencial V(r,\theta) dentro da casca ( 0<r<R) e fora dela ( r>R).
    (b) A densidade de carga superficial induzida \sigma(\theta) na superfície interna da casca (em r=R).
    (c) A carga total induzida Q_{\text{ind}} sobre a casca.

Passo 2

Escolhendo a forma do potencial dentro da cavidade (passo matemático e físico).
  • Observação importante sobre simetria: o problema tem simetria axial em torno do eixo do dipolo (dependência só de \theta), e a contribuição do dipolo original tem dependência angular \cos\theta (modo l=1 na expansão em harmônicos esféricos).
  • Soluções gerais de Laplace com dependência \cos\theta (modo l=1):
    • termos regulares em r: \propto r\cos\theta;
    • termos singulares em r: \propto \dfrac{\cos\theta}{r^{2}}.
      O potencial total na região da cavidade ( 0<r<R) deve ser soma do potencial do dipolo (termo singular dado) mais uma solução harmônica regular que representa o efeito da superfície induzida:
    V_{\text{in}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{p\cos\theta}{r^{2}} + A\, r\cos\theta\right),
    onde A é constante a determinar. Expliquei: o primeiro termo é o dipolo original; o segundo é a solução de Laplace regular no centro que vai ajustar a condição na superfície r=R.

Passo 3

Impor a condição de contorno na superfície aterrada e encontrar A.
  • Como a casca está aterrada, o potencial na superfície condutora é zero: V_{\text{in}}(R,\theta)=0\quad\text{para todo }\theta.
  • Substituindo r=R na expressão de V_{\text{in}}: 0=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{p\cos\theta}{R^{2}} + A\,R\cos\theta\right).Como a igualdade vale para todo \theta, podemos dividir por \cos\theta (exceto nas direções \theta=\pi/2, mas a igualdade funcional exige a mesma constante), obtendo \frac{p}{R^{2}} + A R = 0 \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{p}{R^{3}}.

Passo 4

Escrever o potencial final dentro da cavidade e justificar o potencial fora.
  • Substituindo A em V_{\text{in}}:
    V_{\text{in}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,p\cos\theta\left(\frac{1}{r^{2}} - \frac{r}{R^{3}}\right),\qquad 0<r<R.
    Explicação didática: é a soma do potencial do dipolo original mais um campo adicional (proporcional a r\cos\theta) que anula o potencial na superfície da esfera, como exigido pela casca aterrada.
  • Potencial fora da esfera ( r>R):
    • Como a casca condutora está aterrada e envolve completamente a carga interna, o campo elétrico fora da casca é nulo (a casca + terra fornecem carga de modo que não haja campo externo). Portanto
    V_{\text{out}}(r,\theta)=0,\qquad r\ge R.
    Observação física: cargas internas induzem distribuição na superfície interna da casca de modo a anular o campo externo quando a casca está conectada ao solo; o potencial de referência (terra) é zero.

Passo 5

Calcular a densidade de carga superficial induzida \sigma(\theta).
  • Lembrete físico-matemático: a densidade superficial de carga numa face do condutor é dada pela descontinuidade do campo elétrico normal. Para a superfície interna da casca, com o normal apontando do condutor para a cavidade (vetor radial), a fórmula dá
    \sigma(\theta)=\varepsilon_{0}\,E_{r}(\text{cavidade})\Big|_{r=R},
    onde E_{r}(\text{cavidade}) é a componente radial do campo na cavidade imediatamente adjacente à superfície. Como E_{r}=-\partial V/\partial r, podemos escrever de forma prática
    \sigma(\theta) = -\varepsilon_{0}\left.\frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial r}\right|_{r=R}.
    (Essa é a forma padrão: \sigma = -\varepsilon_{0}\,\partial V/\partial r quando a derivada é avaliada no lado da cavidade e a normal é radial para fora do condutor.)
  • Calcular a derivada radial de V_{\text{in}}:
    V_{\text{in}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,p\cos\theta\left(r^{-2}-\frac{r}{R^{3}}\right).
    Diferenciando em r:
    \frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,p\cos\theta\left(-2r^{-3}-\frac{1}{R^{3}}\right).
    Avaliando em r=R:
    \left.\frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial r}\right|_{r=R}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,p\cos\theta\left(-\frac{2}{R^{3}}-\frac{1}{R^{3}}\right) =-\frac{3p\cos\theta}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}}.
  • Logo a densidade superficial é
    \sigma(\theta)=-\varepsilon_{0}\left(-\frac{3p\cos\theta}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}}\right) =\frac{3p\cos\theta}{4\pi R^{3}}.
    Substituindo p=q\ell se desejar:
    \sigma(\theta)=\frac{3q\ell\cos\theta}{4\pi R^{3}}.
    Interpretação: a distribuição é proporcional a \cos\theta, positiva num polo e negativa no outro, como esperado para um dipolo interno.

Passo 6

Calcular a carga total induzida Q_{\text{ind}}.
  • Integrar \sigma sobre a superfície esférica r=R. Elemento de área: dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi. Q_{\text{ind}}=\int_{0}^{2\pi}\!d\varphi\int_{0}^{\pi}\sigma(\theta)R^{2}\sin\theta\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!d\varphi\int_{0}^{\pi}\frac{3p\cos\theta}{4\pi R^{3}}R^{2}\sin\theta\,d\theta.Simplificando constantes: Q_{\text{ind}}=\frac{3p}{4\pi R}\cdot(2\pi)\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\frac{3p}{2R}\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
  • Avaliando a integral: \int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \left.\frac{1}{2}\sin^{2}\theta\right|_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}\big(\sin^{2}\pi-\sin^{2}0\big)=0.Portanto Q_{\text{ind}}=0.Interpretação física: o dipolo tem carga total nula, então a soma das cargas induzidas na superfície também é zero; a casca permanece com carga total nula (quando conectada a terra ela pode trocar cargas, mas para um dipolo centrado a carga líquida induzida é zero).

Passo 7

Resumo físico rápido (motivação para a forma encontrada).
  • A solução dentro é a soma do potencial singular do dipolo centrado mais um termo regular em r (modo l=1) escolhido para anular o potencial na superfície r=R.
  • Fora da casca, por estarem a casca e o solo em potencial zero e por a casca envolver completamente as fontes internas, não há campo externo: V_{\text{out}}=0.
  • A densidade \sigma tem simetria \cos\theta e total nulo.

Resposta

V_{\text{in}}(r,\theta)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,p\cos\theta\!\left(\dfrac{1}{r^{2}}-\dfrac{r}{R^{3}}\right),\quad 0<r<R.
V_{\text{out}}(r,\theta)=0,\quad r\ge R.
\sigma(\theta)=\dfrac{3p\cos\theta}{4\pi R^{3}}=\dfrac{3q\ell\cos\theta}{4\pi R^{3}}.
Q_{\text{ind}}=0.

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