Uma casca esférica condutora de raio R está aterrada. Dentro da esfera existe um dipolo elétrico, de tamanho \ell, posicionado na origem. Encontre:
(a) O potencial dentro e fora da esfera. (Dica: V_{\text {dip }}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q \ell \cos \theta}{r^{2}}.)
(b) A densidade de carga induzida.
(c) A carga induzida.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
Uma casca esférica condutora de raio R está aterrada (potencial da casca igual a zero).
No interior da casca (no próprio centro, origem) existe um dipolo elétrico de “momento” p, com p=q\ell, orientado ao longo de um eixo que chamamos de eixo z. O potencial do dipolo isolado é dado por
Notação: \theta é o ângulo polar medido em relação ao eixo do dipolo, r é a distância ao centro.
O que o enunciado pede:
(a) O potencial V(r,\theta) dentro da casca (0<r<R) e fora dela (r>R).
(b) A densidade de carga superficial induzida \sigma(\theta) na superfície interna da casca (em r=R).
(c) A carga total induzida Q_{\text{ind}} sobre a casca.
Passo 2
Escolhendo a forma do potencial dentro da cavidade (passo matemático e físico).
Observação importante sobre simetria: o problema tem simetria axial em torno do eixo do dipolo (dependência só de \theta), e a contribuição do dipolo original tem dependência angular \cos\theta (modo l=1 na expansão em harmônicos esféricos).
Soluções gerais de Laplace com dependência \cos\theta (modo l=1):
termos regulares em r: \propto r\cos\theta;
termos singulares em r: \propto \dfrac{\cos\theta}{r^{2}}.
O potencial total na região da cavidade (0<r<R) deve ser soma do potencial do dipolo (termo singular dado) mais uma solução harmônica regular que representa o efeito da superfície induzida:
onde A é constante a determinar. Expliquei: o primeiro termo é o dipolo original; o segundo é a solução de Laplace regular no centro que vai ajustar a condição na superfície r=R.
Passo 3
Impor a condição de contorno na superfície aterrada e encontrar A.
Como a casca está aterrada, o potencial na superfície condutora é zero:V_{\text{in}}(R,\theta)=0\quad\text{para todo }\theta.
Substituindo r=R na expressão de V_{\text{in}}:0=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{p\cos\theta}{R^{2}} + A\,R\cos\theta\right).Como a igualdade vale para todo \theta, podemos dividir por \cos\theta (exceto nas direções \theta=\pi/2, mas a igualdade funcional exige a mesma constante), obtendo\frac{p}{R^{2}} + A R = 0 \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{p}{R^{3}}.
Passo 4
Escrever o potencial final dentro da cavidade e justificar o potencial fora.
Explicação didática: é a soma do potencial do dipolo original mais um campo adicional (proporcional a r\cos\theta) que anula o potencial na superfície da esfera, como exigido pela casca aterrada.
Potencial fora da esfera (r>R):
Como a casca condutora está aterrada e envolve completamente a carga interna, o campo elétrico fora da casca é nulo (a casca + terra fornecem carga de modo que não haja campo externo). Portanto
V_{\text{out}}(r,\theta)=0,\qquad r\ge R.
Observação física: cargas internas induzem distribuição na superfície interna da casca de modo a anular o campo externo quando a casca está conectada ao solo; o potencial de referência (terra) é zero.
Passo 5
Calcular a densidade de carga superficial induzida \sigma(\theta).
Lembrete físico-matemático: a densidade superficial de carga numa face do condutor é dada pela descontinuidade do campo elétrico normal. Para a superfície interna da casca, com o normal apontando do condutor para a cavidade (vetor radial), a fórmula dá
onde E_{r}(\text{cavidade}) é a componente radial do campo na cavidade imediatamente adjacente à superfície. Como E_{r}=-\partial V/\partial r, podemos escrever de forma prática
(Essa é a forma padrão: \sigma = -\varepsilon_{0}\,\partial V/\partial r quando a derivada é avaliada no lado da cavidade e a normal é radial para fora do condutor.)
Interpretação: a distribuição é proporcional a \cos\theta, positiva num polo e negativa no outro, como esperado para um dipolo interno.
Passo 6
Calcular a carga total induzida Q_{\text{ind}}.
Integrar \sigma sobre a superfície esférica r=R. Elemento de área: dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.Q_{\text{ind}}=\int_{0}^{2\pi}\!d\varphi\int_{0}^{\pi}\sigma(\theta)R^{2}\sin\theta\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!d\varphi\int_{0}^{\pi}\frac{3p\cos\theta}{4\pi R^{3}}R^{2}\sin\theta\,d\theta.Simplificando constantes:Q_{\text{ind}}=\frac{3p}{4\pi R}\cdot(2\pi)\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\frac{3p}{2R}\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
Avaliando a integral:\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \left.\frac{1}{2}\sin^{2}\theta\right|_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}\big(\sin^{2}\pi-\sin^{2}0\big)=0.PortantoQ_{\text{ind}}=0.Interpretação física: o dipolo tem carga total nula, então a soma das cargas induzidas na superfície também é zero; a casca permanece com carga total nula (quando conectada a terra ela pode trocar cargas, mas para um dipolo centrado a carga líquida induzida é zero).
Passo 7
Resumo físico rápido (motivação para a forma encontrada).
A solução dentro é a soma do potencial singular do dipolo centrado mais um termo regular em r (modo l=1) escolhido para anular o potencial na superfície r=R.
Fora da casca, por estarem a casca e o solo em potencial zero e por a casca envolver completamente as fontes internas, não há campo externo: V_{\text{out}}=0.
A densidade \sigma tem simetria \cos\theta e total nulo.