Uma carga pontual q está localizada a uma distância a do centro de uma esfera de raio R<a. Suponha uma esfera condutora e aterrada.
(a) Mostre que o potencial na região externa da esfera é dado por
V(r, \theta)=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\left[\frac{1}{\sqrt{r^{2}+a^{2}-2 a r \cos \theta}}-\frac{1}{\sqrt{R^{2}+\left(\frac{a r}{R}\right)^{2}-2 a r \cos \theta}}\right] .
(b) Encontre a densidade superficial de carga induzida, \sigma(\theta), sobre a superfície da esfera. Verifique que \int \sigma d a=-q R / a e justifique sua resposta.
(c) Encontre a força entre a esfera e a carga q. (Resposta: F=-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2} R a}{\left(a^{2}-R^{2}\right)^{2}}.)
(d) Encontre a energia eletrostática do sistema carga-esfera. (Resposta: W=-\frac{1}{8 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2} R}{\left(a^{2}-R^{2}\right)}.)
Passo 1
O enunciado dá uma carga pontual q colocada a uma distância a do centro de uma esfera condutora de raio R, com R<a. A esfera está aterrada (potencial 0 sobre a superfície). O que é pedido:
(a) Mostrar que o potencial na região externa da esfera é
(b) Encontrar a densidade superficial de carga induzida \sigma(\theta) na superfície da esfera e verificar que \displaystyle\int \sigma\,d a = -\frac{qR}{a}, justificando.
(c) Encontrar a força entre a esfera e a carga q (resposta esperada: \displaystyle F=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^{2}Ra}{(a^{2}-R^{2})^{2}}).
(d) Encontrar a energia eletrostática do sistema carga–esfera (resposta esperada: \displaystyle W=-\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{q^{2}R}{a^{2}-R^{2}}).
Informações relevantes dadas:
A carga q está em uma posição ao longo do eixo polar (podemos colocar no eixo z) a distância a do centro.
A esfera é condutora e aterrada \Rightarrow potencial na superfície r=R é V(R,\theta)=0.
Geometria: posição do ponto de observação em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com \theta medido a partir da linha que liga o centro ao ponto de carga q.
Passo 2
Ideia física e método a ser usado (sem ainda desenvolver cálculos): usar o método das cargas-imagem. A esfera condutora aterrada pode ser “substituída” (para o campo na região externa r\ge R) por uma carga imagem localizada no interior da esfera tal que a soma dos potenciais da carga real e da imagem anule a superfície r=R. Vou introduzir uma carga imagem q' colocada no eixo em uma distância b do centro, com b<R, e determinar q' e b impondo V(R,\theta)=0 para todo \theta. Depois vou escrever o potencial externo como soma dos dois potenciais e transformar a expressão para a forma pedida.
Antes de calcular: lembrete útil sobre séries de Legendre (vai aparecer):
Essas expansões são ferramentas padrão para comparar coeficientes angulares.
Passo 3
Determinar carga imagem q' e posição b exigindo V(R,\theta)=0.
Coloco a carga q na posição (r=a,\theta=0) (eixo z). Admito uma carga imagem q' na posição (r=b,\theta=0) com b<R. O potencial na superfície r=R é soma dos potenciais das duas cargas:
Impor V(R,\theta)=0 para todo \theta significa que as duas funções angulares se cancelam ponto a ponto. Expando cada termo em série de Legendre (usando as fórmulas do passo anterior). Como R<a e b<R, para o primeiro termo (carga em a) uso a expansão com r=R<a:
Isso deve valer para todo l. A maneira mais simples de satisfazer isso para todos os l é ter
\frac{b}{R}=\frac{R}{a}, \qquad\text{e}\qquad \frac{q'}{R}=-\frac{q}{a}\cdot\frac{R}{a}^{\,l}\left(\frac{R}{b}\right)^{l}\\ \text{(consistente para todo \(l\))}.
A condição sobre b dá imediatamente
b=\frac{R^{2}}{a}.
Substituindo b/R=R/a na relação geral e pedindo independência de l leva a
Vou calcular \partial V/\partial r a partir da forma com duas radicais. Para o primeiro termo (denominador D_1=\sqrt{r^{2}+a^{2}-2ar\cos\theta}) tem-se
Isso verifica a identidade pedida. Físicamente: a carga total induzida é -qR/a, consistente com o valor da carga imagem q'=-qR/a; a carga imagem simula a distribuição induzida na superfície.
Passo 7
Calcular a força entre a esfera e a carga q.
Uma propriedade poderosa do método da imagem é que, para calcular a força sobre a carga real q devido à condutora (isto é, devido às cargas induzidas), basta calcular a força coulombiana entre q e a carga imagem q' (porque a imagem reproduz o efeito do condutor na região externa). Então a força (na direção radial) é
onde b=R^{2}/a é a posição da imagem e a-b é a separação entre q (em r=a) e q' (em r=b). Substituindo q'=-\dfrac{qR}{a} e a-b=\dfrac{a^{2}-R^{2}}{a} obtemos o módulo e o sinal:
O sinal negativo indica força atrativa dirigida para o centro (ou seja, para reduzir r). Isso coincide com a resposta fornecida.
Passo 8
Calcular a energia eletrostática do sistema carga–esfera.
Forma prática: a energia eletrostática necessária para montar o sistema (com a esfera aterrada) é metade da energia de interação entre a carga real q e a carga imagem q'. Uma forma intuitiva e correta de ver isso é: a energia total do campo pode ser escrita como \dfrac{\varepsilon_0}{2}\int E^{2}dV ou como \dfrac{1}{2}\int \rho V\,dV. Se separemos a contribuição da carga real e da induzida, a energia correspondente à interação real–induzida aparece com fator 1/2. Aplicando isso com a imagem que reproduz o potencial induzido, obtemos
Isto coincide com a resposta indicada. O sinal negativo mostra que é uma configuração ligada (energia menor que a separação no infinito), ou seja, trabalho seria liberado ao aproximar a carga da esfera (ação atrativa).