(a) Escreva a densidade total de cargas em termos de funções delta de Dirac;
(b) Encontre o monopolo, o vetor de dipolo e o tensor de quadrupolo para essa distribuição de carga.
Passo 1
O enunciado dá quatro cargas pontuais, todas de módulo q, localizadas em pontos do espaço e pede duas coisas:
(a) escrever a densidade total de carga em termos de deltas de Dirac;
(b) encontrar o monopolo (carga total), o vetor de dipolo e o tensor de quadrupolo da distribuição.
As informações fornecidas (posições e sinais das cargas) são:
q_{1}=q em (a,0,0),
q_{2}=q em (-a,0,0),
q_{3}=-q em (0,b,0),
q_{4}=-q em (0,-b,0).
As perguntas concretas que precisamos responder:
Expressar \rho(\mathbf{r}) usando funções delta de Dirac em três dimensões.
Calcular
a carga total (monopolo) Q,
o vetor dipolo \mathbf{p},
o tensor de quadrupolo Q_{ij} (especificar a convenção escolhida).
Passo 2
(a) Densidade de carga em termos de deltas.
Lembrete rápido sobre delta de Dirac em 3D: a densidade de uma carga pontual q situada em \mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0) é
onde r_k^2=x_{k,1}^2+x_{k,2}^2+x_{k,3}^2 e \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Esta definição remove o traço e é a que aparece frequentemente em livros de eletrostática quando se fala em “tensor de quadrupolo”.
Vou usar a definição traceless (opção 2), porque é a mais comum em problemas de multipolos eletrostáticos. Se alguém preferir M_{ij}, basta dividir a expressão apropriada (há relação linear entre elas).
Agora calculemos Q_{ij} somando as contribuições de cada carga. Para cada carga k em posição \mathbf{r}_k com r_k^2, a matriz de contribuição é
Observação final didática: por simetria (posições sobre os eixos e sinais), o tensor é diagonal na base x,y,z e não há componentes mistas Q_{xy},Q_{xz},Q_{yz}. Além disso, como monopolo e dipolo são zero, o primeiro termo não-nulo da expansão multipolar distante desta distribuição é o quadrupolar, dado por Q_{ij} acima.]