Quatro cargas pontuais, todas com módulo q, estão distribuídas no espaço da seguinte maneira:
\begin{array}{rrl} q_{1}=q:(a, 0,0) & q_{2}=q:(-a, 0,0) \\\ q_{3}=-q:(0, b, 0) & q_{4}=-q:(0,-b, 0) \end{array}
(a) Escreva a densidade total de cargas em termos de funções delta de Dirac;
(b) Encontre o monopolo, o vetor de dipolo e o tensor de quadrupolo para essa distribuição de carga.

Passo 1

O enunciado dá quatro cargas pontuais, todas de módulo q, localizadas em pontos do espaço e pede duas coisas:
  • (a) escrever a densidade total de carga em termos de deltas de Dirac;
  • (b) encontrar o monopolo (carga total), o vetor de dipolo e o tensor de quadrupolo da distribuição.
As informações fornecidas (posições e sinais das cargas) são:
  • q_{1}=q em (a,0,0),
  • q_{2}=q em (-a,0,0),
  • q_{3}=-q em (0,b,0),
  • q_{4}=-q em (0,-b,0).
As perguntas concretas que precisamos responder:
  1. Expressar \rho(\mathbf{r}) usando funções delta de Dirac em três dimensões.
  2. Calcular
    • a carga total (monopolo) Q,
    • o vetor dipolo \mathbf{p},
    • o tensor de quadrupolo Q_{ij} (especificar a convenção escolhida).

Passo 2

(a) Densidade de carga em termos de deltas.
Lembrete rápido sobre delta de Dirac em 3D: a densidade de uma carga pontual q situada em \mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0) é
\rho(\mathbf{r}) = q\,\delta^{(3)}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)
onde \delta^{(3)}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=\delta(x-x_0)\,\delta(y-y_0)\,\delta(z-z_0). Aqui \mathbf{r}=(x,y,z).
Aplicando isso a cada carga dada, a densidade total é a soma das quatro contribuições:
\rho(\mathbf{r}) = q\,\delta^{(3)}\big(\mathbf{r}-(a,0,0)\big) + q\,\delta^{(3)}\big(\mathbf{r}-(-a,0,0)\big) - q\,\delta^{(3)}\big(\mathbf{r}-(0,b,0)\big) - q\,\delta^{(3)}\big(\mathbf{r}-(0,-b,0)\big).
Se quiser escrever em coordenadas:
\rho(\mathbf{r}) = q\big[\delta(x-a)\delta(y)\delta(z)+\delta(x+a)\delta(y)\delta(z)\big] - q\big[\delta(x)\delta(y-b)\delta(z)+\delta(x)\delta(y+b)\delta(z)\big].

Passo 3

(b) Monopolo (carga total).
Definição: a carga total (monopolo) é
Q=\int \rho(\mathbf{r})\,d^3r,
e, para cargas pontuais, reduz-se à soma algébrica das cargas:
Q = q_{1}+q_{2}+q_{3}+q_{4}.
Substituindo os valores:
Q = q + q + (-q) + (-q) = 0.
Então a distribuição é eletricamente neutra: \,Q=0.

Passo 4

(b) Dipolo elétrico \mathbf{p}.
Definição e interpretação: o momento de dipolo é
\mathbf{p}=\int \mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\,d^3r,
onde \mathbf{r}=(x,y,z). Para densidades com deltas, a integral escolhe as posições das cargas, portanto
\mathbf{p}=\sum_{k} q_{k}\,\mathbf{r}_{k},
onde \mathbf{r}_k é o vetor posição da k-ésima carga.
Calculemos componente a componente:
  • contribuição de q_{1}=q em (a,0,0): q(a,0,0);
  • de q_{2}=q em (-a,0,0): q(-a,0,0);
  • de q_{3}=-q em (0,b,0): -q(0,b,0);
  • de q_{4}=-q em (0,-b,0): -q(0,-b,0).
Somando:
\mathbf{p} = q(a,0,0) + q(-a,0,0) - q(0,b,0) - q(0,-b,0).
Agora simplificando componentes:
  • componente x: q a + q(-a) + 0 + 0 = 0;
  • componente y: 0 + 0 - q b - q(-b) = -q b + q b = 0;
  • componente z: todas as cargas têm z=0, então 0.
Logo
\mathbf{p} = (0,0,0).
Comentário didático: a simetria par-impar na disposição (pares de cargas iguais e opostas sobre os eixos) faz com que o dipolo resulte zero.

Passo 5

(b) Tensor de quadrupolo Q_{ij}: escolha de definição e cálculo.
Antes de calcular, precisamos escolher a convenção. Existem duas fórmulas comuns:
  1. Definição “bruta” (momentos de segunda ordem):
M_{ij} = \int x_i x_j\,\rho(\mathbf{r})\,d^3r = \sum_k q_k\,x_{k,i} x_{k,j}.
  1. Definição traceless frequentemente usada em expansão multipolar eletrostática:
Q_{ij} = \int \big(3 x_i x_j - r^2 \delta_{ij}\big)\,\rho(\mathbf{r})\,d^3r = \sum_k q_k\big(3 x_{k,i} x_{k,j} - r_k^2 \delta_{ij}\big),
onde r_k^2=x_{k,1}^2+x_{k,2}^2+x_{k,3}^2 e \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Esta definição remove o traço e é a que aparece frequentemente em livros de eletrostática quando se fala em “tensor de quadrupolo”.
Vou usar a definição traceless (opção 2), porque é a mais comum em problemas de multipolos eletrostáticos. Se alguém preferir M_{ij}, basta dividir a expressão apropriada (há relação linear entre elas).
Agora calculemos Q_{ij} somando as contribuições de cada carga. Para cada carga k em posição \mathbf{r}_k com r_k^2, a matriz de contribuição é
q_k\big(3 x_{k,i} x_{k,j} - r_k^2 \delta_{ij}\big).
Calcule cada contribuição (escrevendo como matrizes 3×3 na base x,y,z):
  1. Para q_{1}=q em (a,0,0): r_1^2=a^2. Então
q\big(3 x_{1,i} x_{1,j} - r_1^2\delta_{ij}\big) = q \begin{pmatrix} 3a^2 - a^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 - a^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 - a^2 \end{pmatrix} = q\begin{pmatrix} 2a^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -a^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -a^2 \end{pmatrix}.
  1. Para q_{2}=q em (-a,0,0): r_2^2=a^2 e x-componente é -a, mas x_i x_j produz a^2 na diagonal; a matriz é igual à de q_1:
q\begin{pmatrix} 2a^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -a^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -a^2 \end{pmatrix}.
  1. Para q_{3}=-q em (0,b,0): r_3^2=b^2. Calculando:
-q\big(3 x_{3,i} x_{3,j} - r_3^2\delta_{ij}\big) = -q \begin{pmatrix} 0 - b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3b^2 - b^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 - b^2 \end{pmatrix} = -q\begin{pmatrix} - b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 b^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & - b^2 \end{pmatrix}.
Observe que -q(-b^2) = + q b^2 na posição xx, e -q(2b^2) = -2 q b^2 na posição yy.
Para clareza, escrevendo a matriz resultante:
q_{3}\text{ (contrib.) } = q\begin{pmatrix} b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2b^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix}.
(isto decorre de multiplicar por -q os termos dentro da matriz anterior).
  1. Para q_{4}=-q em (0,-b,0): por simetria a contribuição é igual à de q_3:
q_{4}\text{ (contrib.) } = q\begin{pmatrix} b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2b^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Somando todas as contribuições ( Q_{ij} é a soma das 4 matrizes ):
Soma das contribuições de q_1 e q_2:
q\begin{pmatrix} 2a^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -a^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -a^2 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 2a^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -a^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -a^2 \end{pmatrix} = q\begin{pmatrix} 4a^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2a^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2a^2 \end{pmatrix}.
Soma das contribuições de q_3 e q_4:
q\begin{pmatrix} b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2b^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2b^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix} = q\begin{pmatrix} 2b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -4b^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2b^2 \end{pmatrix}.
Agora a soma total:
Q_{ij} = q\begin{pmatrix} 4a^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2a^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2a^2 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 2b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -4b^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2b^2 \end{pmatrix} = q\begin{pmatrix} 4a^2+2b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2a^2-4b^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2a^2+2b^2 \end{pmatrix}.
Podemos fatorar 2q para apresentar de forma mais compacta:
Q_{ij} = 2q\begin{pmatrix} 2a^2+b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -(a^2+2b^2) & 0\\[4pt] 0 & 0 & b^2-a^2 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: o traço é nulo (propriedade da definição traceless):
Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz} = q(4a^2+2b^2) + q(-2a^2-4b^2) + q(-2a^2+2b^2) = 0.
Observação final didática: por simetria (posições sobre os eixos e sinais), o tensor é diagonal na base x,y,z e não há componentes mistas Q_{xy},Q_{xz},Q_{yz}. Além disso, como monopolo e dipolo são zero, o primeiro termo não-nulo da expansão multipolar distante desta distribuição é o quadrupolar, dado por Q_{ij} acima.]

Resposta

(a) \displaystyle \rho(\mathbf{r})=q\,\delta^{(3)}\big(\mathbf{r}-(a,0,0)\big)+q\,\delta^{(3)}\big(\mathbf{r}-(-a,0,0)\big)-q\,\delta^{(3)}\big(\mathbf{r}-(0,b,0)\big)-q\,\delta^{(3)}\big(\mathbf{r}-(0,-b,0)\big)
(b) Monopolo: \displaystyle Q=0
Dipolo: \displaystyle \mathbf{p}=(0,0,0)
Quadrupolo (definição traceless \,Q_{ij}=\sum_k q_k(3x_{k,i}x_{k,j}-r_k^2\delta_{ij})):
\displaystyle Q_{ij}=2q\begin{pmatrix} 2a^2+b^2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -(a^2+2b^2) & 0\\[4pt] 0 & 0 & b^2-a^2 \end{pmatrix}.]

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