Uma casca esférica condutora está uniformemente carregada de 130 nC e possui raio interno de 3,0 \mathrm{~cm} e externo de 6,0 \mathrm{~cm}. No centro de sua cavidade (que coincide com o centro da casca), é colocada uma carga pontual de -30 nC . As densidades superficiais de carga sobre a superficie interna e externa são, respectivamente, iguais a:
2,65 \mu C / m^{2} e 2,21 \mu C / m^{2}.
-2,65 \mu C / m^{2} e 3,54 \mu C / m^{2}.
2,65 \mu C / m^{2} e -2,21 \mu C / m^{2}.
2,65 \mu C / m^{2} e -3,54 \mu C / m^{2}.
-2,65 \mu C / m^{2} e -3,54 \mu C / m^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado dá e o que é pedido.
  • A casca condutora tem carga total livre Q_{\text{total}}=130\\ \mathrm{nC}.
  • Raio interno da casca: a=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo da casca: b=6{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • No centro da cavidade foi colocada uma carga pontual q_{\text{in}}=-30\\ \mathrm{nC}.
  • O que se pede: as densidades superficiais de carga sobre a superfície interna e sobre a superfície externa da casca.

Passo 2

Conceito-chave (explicado com calma): em regime eletrostático o campo elétrico no interior do material condutor é nulo. Isso implica, aplicando a Lei de Gauss numa superfície fechada que envolva só a cavidade (mas dentro do metal), que a soma das cargas dentro dessa superfície é zero. Portanto a carga induzida na superfície interna, que chamo Q_{\text{interna}}, deve anular a carga colocada na cavidade:
q_{\text{in}} + Q_{\text{interna}} = 0.
Daí
Q_{\text{interna}} = -\,q_{\text{in}}.
Explicando em palavras: a superfície interna recebe uma carga cujo sinal é oposto ao da carga dentro da cavidade, de modo a anular o campo no metal.

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior com o valor dado ( q_{\text{in}}=-30\\ \mathrm{nC}):
Q_{\text{interna}} = -(-30\\ \mathrm{nC}) = +30\\ \mathrm{nC}.
Ou seja, a superfície interna fica com carga +30\\ \mathrm{nC}.

Passo 4

Conservação da carga: a carga total livre do condutor é a soma da carga na superfície interna mais a carga na superfície externa. Assim,
Q_{\text{total}} = Q_{\text{interna}} + Q_{\text{externa}}.
Isolando Q_{\text{externa}}:
Q_{\text{externa}} = Q_{\text{total}} - Q_{\text{interna}}.
Substituindo números (todas as cargas em \mathrm{nC}):
Q_{\text{externa}} = 130\\ \mathrm{nC} - 30\\ \mathrm{nC} = 100\\ \mathrm{nC}.
Logo a superfície externa tem carga +100\\ \mathrm{nC}.

Passo 5

Agora transformar cargas para coulombs e usar a definição de densidade superficial: para uma esfera de raio r a área é 4\pi r^{2} e a densidade superficial \sigma é a carga dividida pela área:
\sigma = \frac{Q}{4\pi r^{2}}.
Aqui aplicaremos para as superfícies interna (raio a) e externa (raio b). Lembrete de conversão: 1\\ \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C} e 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo da densidade na superfície interna. Dados: Q_{\text{interna}}=30\\ \mathrm{nC}=30\times10^{-9}\\ \mathrm{C} e a=0{,}03\\ \mathrm{m}.
Área interna:
4\pi a^{2}=4\pi(0{,}03)^{2}=4\pi(0{,}0009)=0{,}0036\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Densidade interna:
\sigma_{\text{interna}}=\frac{30\times10^{-9}}{0{,}0036\pi}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Fazendo a conta (mostrando etapas):
\frac{30\times10^{-9}}{0{,}0036}=8{,}333\ldots\times10^{-6}, \qquad \frac{8{,}333\ldots\times10^{-6}}{\pi}=2{,}6526\ldots\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Convertendo para \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} (multiplicar por 10^{6}):
\sigma_{\text{interna}}\approx 2{,}65\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Observe o sinal: positivo, porque Q_{\text{interna}}=+30\\ \mathrm{nC}.

Passo 7

Cálculo da densidade na superfície externa. Dados: Q_{\text{externa}}=100\\ \mathrm{nC}=100\times10^{-9}\\ \mathrm{C} e b=0{,}06\\ \mathrm{m}.
Área externa:
4\pi b^{2}=4\pi(0{,}06)^{2}=4\pi(0{,}0036)=0{,}0144\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Densidade externa:
\sigma_{\text{externa}}=\frac{100\times10^{-9}}{0{,}0144\pi}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Fazendo a conta:
\frac{100\times10^{-9}}{0{,}0144}=6{,}94444\ldots\times10^{-6}, \qquad \frac{6{,}94444\ldots\times10^{-6}}{\pi}=2{,}212\ldots\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Convertendo para \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}:
\sigma_{\text{externa}}\approx 2{,}21\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Sinal positivo também, pois Q_{\text{externa}}=+100\\ \mathrm{nC}.

Resposta

\sigma_{\text{interna}}=2{,}65\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}
\sigma_{\text{externa}}=2{,}21\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}

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