Uma casca esférica condutora está uniformemente carregada de 130 nC e possui raio interno de
e externo de
. No centro de sua cavidade (que coincide com o centro da casca), é colocada uma carga pontual de -30 nC . As densidades superficiais de carga sobre a superficie interna e externa são, respectivamente, iguais a:
◯
e
.
◯
e
.
◯
e
.
◯
e
.
◯
e
.
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
Vou listar claramente os dados que o enunciado dá e o que é pedido.
- A casca condutora tem carga total livre
. - Raio interno da casca:
. - Raio externo da casca:
. - No centro da cavidade foi colocada uma carga pontual
. - O que se pede: as densidades superficiais de carga sobre a superfície interna e sobre a superfície externa da casca.
Passo 2
Conceito-chave (explicado com calma): em regime eletrostático o campo elétrico no interior do material condutor é nulo. Isso implica, aplicando a Lei de Gauss numa superfície fechada que envolva só a cavidade (mas dentro do metal), que a soma das cargas dentro dessa superfície é zero. Portanto a carga induzida na superfície interna, que chamo
, deve anular a carga colocada na cavidade:
Daí
Explicando em palavras: a superfície interna recebe uma carga cujo sinal é oposto ao da carga dentro da cavidade, de modo a anular o campo no metal.
Passo 3
Aplicando a fórmula do passo anterior com o valor dado (
):
Ou seja, a superfície interna fica com carga
.
Passo 4
Conservação da carga: a carga total livre do condutor é a soma da carga na superfície interna mais a carga na superfície externa. Assim,
Isolando
:
Substituindo números (todas as cargas em
):
Logo a superfície externa tem carga
.
Passo 5
Agora transformar cargas para coulombs e usar a definição de densidade superficial: para uma esfera de raio
a área é
e a densidade superficial
é a carga dividida pela área:
Aqui aplicaremos para as superfícies interna (raio
) e externa (raio
). Lembrete de conversão:
e
.
Passo 6
Cálculo da densidade na superfície interna. Dados:
e
.
Área interna:
Área interna:
Densidade interna:
Fazendo a conta (mostrando etapas):
Convertendo para
(multiplicar por
):
Observe o sinal: positivo, porque
.
Passo 7
Cálculo da densidade na superfície externa. Dados:
e
.
Área externa:
Área externa:
Densidade externa:
Fazendo a conta:
Convertendo para
:
Sinal positivo também, pois
.