A partícula 1 , com carga de 22 nC , está fixa sobre o eixo x , sendo \mathrm{x}_{1}<0. A partícula 2 , com carga de -14 nC , está fixa na origem do eixo x . O campo elétrico gerado pelas duas partículas é nulo em \mathrm{x}=38 \mathrm{~cm}. Para \mathrm{x}>0, determine o valor de x em que o campo elétrico é máximo (ou mínimo).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei os números do enunciado):
  • Partícula 1 tem carga q_1=22\\ \text{nC} e está fixa em x_1<0 (posição desconhecida que chamarei de a, com a<0).
  • Partícula 2 tem carga q_2=-14\\ \text{nC} e está fixa na origem, x_2=0.
  • O campo elétrico resultante das duas cargas é nulo em x=38\\ \text{cm} (ou seja, em x=0{,}38\\ \text{m}).
    O que se pede:
  • Para x>0, determinar o valor de x em que o campo elétrico total é extremo (máximo ou mínimo).

Passo 2

Relembrando a fórmula do campo de uma carga pontual e a convenção de sinais (passo-a-passo, sem pular):
  • O módulo do campo elétrico gerado por uma carga pontual q a uma distância r é E_{\text{mod}} = k\frac{|q|}{r^2}, onde k é a constante eletrostática.
  • Em uma dimensão (eixo x) é conveniente trabalhar com o campo como quantidade algébrica (positivo para a direita, negativo para a esquerda). Para um ponto x e uma carga em x_q, a distância escalar é r=|x-x_q|.
  • Aqui, para x>0:
    • A carga q_2=-14\\ \text{nC} na origem gera, em x>0, um campo apontando para a esquerda (porque é negativa), logo sua contribuição é negativa: \,E_2(x)=k\dfrac{q_2}{x^2}.
    • A carga q_1=22\\ \text{nC} em x=a<0 é positiva, e em x>0 seu campo aponta para a direita, logo sua contribuição é positiva: \,E_1(x)=k\dfrac{q_1}{(x-a)^2}.
  • Assim, o campo total para x>0 pode ser escrito como
E(x)=k\!\left(\frac{q_1}{(x-a)^2}+\frac{q_2}{x^2}\right).
Aqui a é a posição de q_1 (ainda desconhecida) e k é constante positiva; para achar pontos extremos podemos trabalhar com a expressão entre parênteses porque k apenas escala o valor.

Passo 3

Usar a informação \,E(0{,}38\\ \text{m})=0 para achar a posição a de q_1.
  • Em x=0{,}38\\ \text{m} vale
\frac{q_1}{(0{,}38-a)^2}+\frac{q_2}{(0{,}38)^2}=0.
  • Isolando a parte positiva e lembrando que q_2 é negativa ( |q_2|=14\\ \text{nC}):
\frac{q_1}{(0{,}38-a)^2}=\frac{|q_2|}{(0{,}38)^2}.
  • Substituindo os valores numéricos ( q_1=22, |q_2|=14, as unidades de nC cancelam):
(0{,}38-a)^2=\frac{22}{14}(0{,}38)^2=\frac{11}{7}(0{,}38)^2.
  • Tomando raiz positiva (distância positiva):
0{,}38-a=\sqrt{\frac{11}{7}}\;0{,}38.
  • Assim
a=0{,}38\!\left(1-\sqrt{\tfrac{11}{7}}\right).
  • Calculando numericamente: \sqrt{11/7}\approx1{,}25357, então
a\approx0{,}38\,(1-1{,}25357)\approx0{,}38\cdot(-0{,}25357)\approx-0{,}0964\\ \text{m}.
Logo a posição da carga q_1 é a\approx-0{,}0964\\ \text{m} (aprox. -9{,}64\\ \text{cm}). (Bom: agora sabemos onde está q_1.)

Passo 4

Procurar extremos do campo para x>0: derivar E(x) e achar x tal que E'(x)=0.
  • Como k é constante positiva, podemos estudar a função
f(x)=\frac{q_1}{(x-a)^2}+\frac{q_2}{x^2},
e buscar f'(x)=0.
  • Derivando termo a termo (usar regra da potência; derivada de (x-a)^{-2} é -2(x-a)^{-3}):
f'(x)=-2\frac{q_1}{(x-a)^3}-2\frac{q_2}{x^3}.
  • Igualando a zero e simplificando o fator -2:
\frac{q_1}{(x-a)^3}+\frac{q_2}{x^3}=0.
  • Como q_2<0 escrevemos |q_2|=-q_2 e obtemos
\frac{q_1}{(x-a)^3}=\frac{|q_2|}{x^3}.
  • Tomando a raiz cúbica em ambos os lados:
x-a=\left(\frac{q_1}{|q_2|}\right)^{1/3} x.
  • Isolando x:
a=x\left(1-\left(\frac{q_1}{|q_2|}\right)^{1/3}\right)\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{a}{\,1-\left(\dfrac{q_1}{|q_2|}\right)^{1/3}\,}.
  • Agora substituir os números: \dfrac{q_1}{|q_2|}=\dfrac{22}{14}=\dfrac{11}{7} e a\approx-0{,}0964\\ \text{m}. Calcule \left(\dfrac{11}{7}\right)^{1/3}\approx1{,}1627.
  • Então o denominador é 1-1{,}1627\approx-0{,}1627. Assim
x\approx\frac{-0{,}0964}{-0{,}1627}\approx0{,}5925\\ \text{m}.
Em centímetros, x\approx59{,}25\\ \text{cm}. Arredondando a uma casa decimal: x\approx59{,}3\\ \text{cm}.

Passo 5

Verificar se esse ponto é máximo ou mínimo (importante para responder corretamente):
  • Calcule a segunda derivada de f:
f''(x)=6\frac{q_1}{(x-a)^4}+6\frac{q_2}{x^4}.
  • Avaliando a segunda derivada no ponto crítico e usando a relação do ponto crítico \dfrac{q_1}{(x-a)^3}=\dfrac{|q_2|}{x^3}, podemos reescrever f'' como
f''(x)=6|q_2|\;\frac{a}{x^4(x-a)}.
  • Aqui |q_2|>0, x>0 e x-a>0, mas a<0. Portanto f''(x) é negativo naquele ponto crítico. Logo f''(x)<0 e o ponto é um máximo local.
  • Comentário físico: para x\to0^+ o campo vai a -\infty (dominado por q_2 negativa), em x=0{,}38\\ \text{m} o campo é zero, e para x\to\infty o campo tende a 0^+ (pois q_1+q_2=+8\\ \text{nC}>0). Assim o ponto crítico encontrado é, de fato, um máximo global do campo para x>0.

Resposta

x\approx0{,}593\\ \text{m} (ou 59{,}3\\ \text{cm}); é um ponto de máximo do campo elétrico.

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