A partícula 1 , com carga de 22 nC , está fixa sobre o eixo x , sendo
. A partícula 2 , com carga de -14 nC , está fixa na origem do eixo x . O campo elétrico gerado pelas duas partículas é nulo em
. Para
, determine o valor de x em que o campo elétrico é máximo (ou mínimo).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei os números do enunciado):
- Partícula 1 tem carga
e está fixa em (posição desconhecida que chamarei de , com ). - Partícula 2 tem carga
e está fixa na origem, . - O campo elétrico resultante das duas cargas é nulo em
(ou seja, em ).
O que se pede: - Para
, determinar o valor de em que o campo elétrico total é extremo (máximo ou mínimo).
Passo 2
Relembrando a fórmula do campo de uma carga pontual e a convenção de sinais (passo-a-passo, sem pular):
- O módulo do campo elétrico gerado por uma carga pontual
a uma distância é onde é a constante eletrostática. - Em uma dimensão (eixo
) é conveniente trabalhar com o campo como quantidade algébrica (positivo para a direita, negativo para a esquerda). Para um ponto e uma carga em , a distância escalar é . - Aqui, para
: - A carga
na origem gera, em , um campo apontando para a esquerda (porque é negativa), logo sua contribuição é negativa: . - A carga
em é positiva, e em seu campo aponta para a direita, logo sua contribuição é positiva: .
- A carga
- Assim, o campo total para
pode ser escrito como
Aqui
é a posição de
(ainda desconhecida) e
é constante positiva; para achar pontos extremos podemos trabalhar com a expressão entre parênteses porque
apenas escala o valor.
Passo 3
Usar a informação
para achar a posição
de
.
- Em
vale
- Isolando a parte positiva e lembrando que
é negativa ( ):
- Substituindo os valores numéricos (
, , as unidades de nC cancelam):
- Tomando raiz positiva (distância positiva):
- Assim
- Calculando numericamente:
, então
Logo a posição da carga
é
(aprox.
). (Bom: agora sabemos onde está
.)
Passo 4
Procurar extremos do campo para
: derivar
e achar
tal que
.
- Como
é constante positiva, podemos estudar a função
e buscar
.
- Derivando termo a termo (usar regra da potência; derivada de
é ):
- Igualando a zero e simplificando o fator
:
- Como
escrevemos e obtemos
- Tomando a raiz cúbica em ambos os lados:
- Isolando
:
- Agora substituir os números:
e . Calcule . - Então o denominador é
. Assim
Em centímetros,
. Arredondando a uma casa decimal:
.
Passo 5
Verificar se esse ponto é máximo ou mínimo (importante para responder corretamente):
- Calcule a segunda derivada de
:
- Avaliando a segunda derivada no ponto crítico e usando a relação do ponto crítico
, podemos reescrever como
- Aqui
, e , mas . Portanto é negativo naquele ponto crítico. Logo e o ponto é um máximo local. - Comentário físico: para
o campo vai a (dominado por negativa), em o campo é zero, e para o campo tende a (pois ). Assim o ponto crítico encontrado é, de fato, um máximo global do campo para .