Um satélite está explorando as proximidades de Vênus. A estação espacial, que permanece estacionária, define a origem do sistema de coordenadas, e a região ao redor corresponde ao plano xy. O satélite, que representamos como um ponto, possui coordenadas x e y que variam com o tempo:
\mathrm{x}=2,0 \mathrm{~m}-\left(0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \mathrm{t}^{2}
\mathrm{y}=(1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \mathrm{t}+\left(0,025 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t}^{3}
Assinale a alternativa correta:
a) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
\boldsymbol{v}=(-0,50) \boldsymbol{i}+\left(0,075 t^{2}\right) \boldsymbol{j}
b) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
\boldsymbol{v}=(-0,50) \boldsymbol{i}+(0,15 t) \boldsymbol{j}
c) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
\boldsymbol{v}=(-0,50 t) \boldsymbol{i}+(0,15 t) \boldsymbol{j}
d) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
\boldsymbol{v}=(-0,50 t) \boldsymbol{i}+\left(1,0+0,075 t^{2}\right) \boldsymbol{j}

Passo 1

O enunciado nos dá as coordenadas do satélite em função do tempo (peguei esses dados do enunciado):
  • x(t)=2,0\\ \mathrm{m}-\left(0,25\\ \mathrm{m/s^{2}}\right)t^{2}.
  • y(t)=(1,0\\ \mathrm{m/s})\,t+\left(0,025\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)t^{3}.
A pergunta é: qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) apresenta corretamente o vetor velocidade instantânea \boldsymbol{v}(t).

Passo 2

Conceito que vamos usar (rápido e direto):
  • O vetor posição é \boldsymbol{r}(t)=x(t)\,\boldsymbol{i}+y(t)\,\boldsymbol{j}.
  • O vetor velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
\boldsymbol{v}(t)=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\,\boldsymbol{i}+\frac{dy}{dt}\,\boldsymbol{j}.
Regras de derivação que aplicaremos (lembrando de forma prática):
  • A derivada de uma constante é zero.
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dt}\left(k\,t^{n}\right)=k\,n\,t^{n-1}, onde k é constante e n é inteiro positivo.
  • A derivada de soma é soma das derivadas.

Passo 3

Derivar x(t) passo a passo (mostrando as contas):
x(t)=2,0-\bigl(0,25\bigr)\,t^{2}.
  • Derivada de 2,0 é 0.
  • Derivada de -0,25\,t^{2} usando a regra do poder: -0,25\times 2\,t=-0,50\,t.
Logo,
\frac{dx}{dt}=-0,50\,t\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Derivar y(t) passo a passo:
y(t)=1,0\,t+0,025\,t^{3}.
  • Derivada de 1,0\,t é 1,0.
  • Derivada de 0,025\,t^{3} é 0,025\times 3\,t^{2}=0,075\,t^{2}.
Portanto,
\frac{dy}{dt}=1,0+0,075\,t^{2}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 5

Montando o vetor velocidade com as componentes que encontramos:
\boldsymbol{v}(t)=\frac{dx}{dt}\,\boldsymbol{i}+\frac{dy}{dt}\,\boldsymbol{j}=(-0,50\,t)\,\boldsymbol{i}+\bigl(1,0+0,075\,t^{2}\bigr)\,\boldsymbol{j}.

Passo 6

Comparação das formas (sem escolher a letra aqui, só conferindo formas):
  • A alternativa (a) tem componente x constante -0,50, mas a componente x correta depende de t ( -0,50\,t), logo (a) está errada.
  • A alternativa (b) também tem componente x constante -0,50, então está errada.
  • A alternativa (c) tem componente x correta -0,50\,t, mas a componente y de (c) é 0,15\,t (depende linearmente de t), o que não coincide com 1,0+0,075\,t^{2}; portanto (c) está errada.
  • A alternativa (d) apresenta exatamente a expressão (-0,50\,t)\,\boldsymbol{i}+\bigl(1,0+0,075\,t^{2}\bigr)\,\boldsymbol{j}, que coincide com o vetor velocidade que derivamos.

Resposta

d)

Exercícios relacionados