Um satélite está explorando as proximidades de Vênus. A estação espacial, que permanece estacionária, define a origem do sistema de coordenadas, e a região ao redor corresponde ao plano xy. O satélite, que representamos como um ponto, possui coordenadas x e y que variam com o tempo:
Assinale a alternativa correta:
a) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
b) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
c)
vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
d) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
Assinale a alternativa correta:
a) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
b) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
c)
d) O vetor velocidade instantânea é dado pela equação:
Passo 1
O enunciado nos dá as coordenadas do satélite em função do tempo (peguei esses dados do enunciado):
-
. -
.
A pergunta é: qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) apresenta corretamente o vetor velocidade instantânea
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (rápido e direto):
- O vetor posição é
. - O vetor velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
Regras de derivação que aplicaremos (lembrando de forma prática):
- A derivada de uma constante é zero.
- Regra do poder (power rule):
, onde é constante e é inteiro positivo. - A derivada de soma é soma das derivadas.
Passo 3
Derivar
passo a passo (mostrando as contas):
- Derivada de
é . - Derivada de
usando a regra do poder: .
Logo,
Passo 4
Derivar
passo a passo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 5
Montando o vetor velocidade com as componentes que encontramos:
Passo 6
Comparação das formas (sem escolher a letra aqui, só conferindo formas):
- A alternativa (a) tem componente
constante , mas a componente correta depende de ( ), logo (a) está errada. - A alternativa (b) também tem componente
constante , então está errada. - A alternativa (c) tem componente
correta , mas a componente de (c) é (depende linearmente de ), o que não coincide com ; portanto (c) está errada. - A alternativa (d) apresenta exatamente a expressão
, que coincide com o vetor velocidade que derivamos.
Resposta
d)