Uma casca esférica fina, condutora, de raio
, está uniformemente carregada com uma carga total Q. Por integração direta, encontre o potencial em um ponto arbitrário (a) no interior da casca, (b) fora da casca.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca esférica fina e condutora com raio
, carregada uniformemente com uma carga total
. A gente precisa encontrar o potencial elétrico em dois lugares diferentes: (a) dentro da casca e (b) fora da casca. Para isso, vamos usar o conceito de potencial elétrico e integração direta, que envolve distribuir a carga e calcular a contribuição de cada parte da carga para o potencial no ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é potencial elétrico. O potencial elétrico
em um ponto é a energia potencial por unidade de carga nesse ponto devido a um campo elétrico. Quando temos uma distribuição de carga, o potencial total é a soma (ou integração) das contribuições de todas as cargas.
Passo 3
Como a casca é esférica e carregada de forma uniforme, podemos considerar que a carga está distribuída de maneira homogênea na superfície da casca. Para calcular o potencial em um ponto, precisamos integrar a contribuição de cada elemento de carga
na casca para o ponto em questão.
Passo 4
Vamos começar com o caso (a): calcular o potencial no interior da casca, ou seja, para pontos onde a distância
do centro da casca é menor que
. Pela lei de Gauss, sabemos que dentro de uma casca condutora, o campo elétrico é zero. Mas o potencial não é necessariamente zero; na verdade, é constante em todo o interior e igual ao potencial na superfície.
Passo 5
Para encontrar o potencial no interior, vamos considerar que cada elemento de carga
na casca contribui com um potencial
no ponto interno. A distância entre
e o ponto interno é simplesmente
, pois todos os pontos na casca estão a uma distância
do centro. Assim, o potencial total é:
Passo 6
Como a carga está uniformemente distribuída, podemos tirar
da integral:
E sabemos que
, a carga total da casca.
Passo 7
Substituindo, temos:
Então, o potencial dentro da casca é constante e igual a
.
Passo 8
Agora, vamos para o caso (b): calcular o potencial fora da casca, para
. Neste caso, podemos tratar a casca como se toda a carga
estivesse concentrada no centro da esfera, graças ao teorema da camada esférica.
Passo 9
Assim, o potencial fora da casca é dado por:
Onde
é a distância do ponto ao centro da esfera.
Passo 10
Portanto, resumindo:
Resposta
(a) No interior da casca, o potencial é
;
(b) Fora da casca, o potencial é
.