Uma casca esférica fina, condutora, de raio R, está uniformemente carregada com uma carga total Q. Por integração direta, encontre o potencial em um ponto arbitrário (a) no interior da casca, (b) fora da casca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca esférica fina e condutora com raio , carregada uniformemente com uma carga total . A gente precisa encontrar o potencial elétrico em dois lugares diferentes: (a) dentro da casca e (b) fora da casca. Para isso, vamos usar o conceito de potencial elétrico e integração direta, que envolve distribuir a carga e calcular a contribuição de cada parte da carga para o potencial no ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto é a energia potencial por unidade de carga nesse ponto devido a um campo elétrico. Quando temos uma distribuição de carga, o potencial total é a soma (ou integração) das contribuições de todas as cargas.

Passo 3

Como a casca é esférica e carregada de forma uniforme, podemos considerar que a carga está distribuída de maneira homogênea na superfície da casca. Para calcular o potencial em um ponto, precisamos integrar a contribuição de cada elemento de carga na casca para o ponto em questão.

Passo 4

Vamos começar com o caso (a): calcular o potencial no interior da casca, ou seja, para pontos onde a distância do centro da casca é menor que . Pela lei de Gauss, sabemos que dentro de uma casca condutora, o campo elétrico é zero. Mas o potencial não é necessariamente zero; na verdade, é constante em todo o interior e igual ao potencial na superfície.

Passo 5

Para encontrar o potencial no interior, vamos considerar que cada elemento de carga Vinterior = integral 14pivarepsilon0 dqR na casca contribui com um potencial no ponto interno. A distância entre e o ponto interno é simplesmente , pois todos os pontos na casca estão a uma distância do centro. Assim, o potencial total é:

Passo 6

Como a carga está uniformemente distribuída, podemos tirar Vinterior = 14pivarepsilon0 R integral dq da integral:
E sabemos que , a carga total da casca.

Passo 7

Substituindo, temos:
Vinterior = 14pivarepsilon0 R cdot Q = Q4pivarepsilon0 R
Então, o potencial dentro da casca é constante e igual a .

Passo 8

Agora, vamos para o caso (b): calcular o potencial fora da casca, para . Neste caso, podemos tratar a casca como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera, graças ao teorema da camada esférica.

Passo 9

Assim, o potencial fora da casca é dado por:
Vexterno = 14pivarepsilon0 Qr
Onde é a distância do ponto ao centro da esfera.

Passo 10

Portanto, resumindo:

Resposta

(a) No interior da casca, o potencial é ;
(b) Fora da casca, o potencial é .

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