Uma đistribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de
, a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras,
. Se
for assim, deter* mine o campo elétrico como função de
. Integre o resultado para obter uma expressão para o potencial eletrostático
, sujeito à restrição
.
a)
sendo
uma constante para
;
para
.
b)
(isto é, constante) para
;
para
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga, representada por
, depende apenas da distância
do centro da esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico
em função de
e, depois, integrar esse resultado para obter o potencial eletrostático
, com a condição de que
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos com simetria específica, como a esférica que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida pela constante
. Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, como a distribuição de carga é esférica e depende só de
, a simetria nos permite dizer que o campo elétrico
também será radial e terá a mesma magnitude em todas as direções a uma dada distância
do centro.
Passo 3
Vamos começar com a parte a), onde a densidade de carga é dada por
para
e
para
.
Primeiro, precisamos encontrar a carga total interna
dentro de uma esfera de raio
. Para isso, integramos a densidade de carga sobre o volume:
Passo 4
Agora aplicamos a Lei de Gauss. A superfície gaussiana é uma esfera de raio
, então o fluxo elétrico é:
Igualando isso à carga interna dividida por
:
Então, o campo elétrico dentro da esfera (
) é constante e igual a
.
Passo 5
Para
, a densidade de carga
, então a carga interna total não depende do
maior que
. A carga total da esfera é:
Aplicando novamente a Lei de Gauss para
:
Então, para fora da esfera (
), o campo elétrico decai com
.
Passo 6
Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial eletrostático
. A relação entre campo elétrico e potencial é:
Integrando:
Onde
é a constante de integração. Vamos considerar as duas regiões separadamente.
Para
:
Integrando:
Para
:
Integrando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição de que
. Para
, ao enviar
para o infinito:
Então, para
:
Para garantir que o potencial seja contínuo em
, igualamos os potencias nas duas regiões em
:
Então, para
:
Passo 8
Agora, vamos para a parte b), onde a densidade de carga é constante, ou seja,
para
e
para
.
Passo 9
Primeiro, calculamos a carga interna
dentro de uma esfera de raio
. Como
é constante, temos:
Passo 10
Aplicando a Lei de Gauss, onde o fluxo elétrico é
e igual à carga interna dividida por
:
Então, dentro da esfera (
), o campo elétrico cresce linearmente com
.
Passo 11
Para
, a densidade de carga
, então a carga total da esfera é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Então, para fora da esfera (
), o campo elétrico decai com
.
Passo 12
Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial eletrostático
.
Para
:
Integramos:
Para
:
Integramos:
Passo 13
Aplicamos a condição
. Para
:
Então, para
:
Agora, garantimos a continuidade do potencial em
:
Então, para
:
Resposta
b)
-
Para
: -
Para
: