Uma đistribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de r, a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras, rho=rho(r). Se rho(r) for assim, deter* mine o campo elétrico como função de r. Integre o resultado para obter uma expressão para o potencial eletrostático varphi(r), sujeito à restrição varphi(infty)=0.
a) rho=A / r sendo A uma constante para 0 <= r <= R;
rho=0 para r>R.
b) rho=rho0 (isto é, constante) para 0 <= r <= R;
rho=0 para r>R.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga, representada por rho(r), depende apenas da distância r do centro da esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico E(r) em função de r e, depois, integrar esse resultado para obter o potencial eletrostático varphi(r), com a condição de que varphi(infty) = 0. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos com simetria específica, como a esférica que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida pela constante varepsilon0. Matematicamente, isso é expresso como:
oint E cdot dA = Qintvarepsilon0
No nosso caso, como a distribuição de carga é esférica e depende só de r, a simetria nos permite dizer que o campo elétrico E também será radial e terá a mesma magnitude em todas as direções a uma dada distância r do centro.

Passo 3

Vamos começar com a parte a), onde a densidade de carga é dada por rho = Ar para 0 <= r <= R e rho = 0 para r > R.
Primeiro, precisamos encontrar a carga total interna Qint dentro de uma esfera de raio r. Para isso, integramos a densidade de carga sobre o volume:
Qint = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = integral0^r Ar' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi A integral0^r r' dr' = 4pi A [r'^22]0^r = 2pi A r^2

Passo 4

Agora aplicamos a Lei de Gauss. A superfície gaussiana é uma esfera de raio r, então o fluxo elétrico é:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2
Igualando isso à carga interna dividida por varepsilon0:
E(r) cdot 4pi r^2 = 2pi A r^2varepsilon0 implies E(r) = 2pi A r^24pi r^2 varepsilon0 = A2varepsilon0
Então, o campo elétrico dentro da esfera ( r <= R) é constante e igual a A2varepsilon0.

Passo 5

Para r > R, a densidade de carga rho = 0, então a carga interna total não depende do r maior que R. A carga total da esfera é:
Q = 2pi A R^2
Aplicando novamente a Lei de Gauss para r > R:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 implies E(r) = Q4pi varepsilon0 r^2 = 2pi A R^24pi varepsilon0 r^2 = A R^22 varepsilon0 r^2
Então, para fora da esfera ( r > R), o campo elétrico decai com 1/r^2.

Passo 6

Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial eletrostático varphi(r). A relação entre campo elétrico e potencial é:
E(r) = -dvarphidr
Integrando:
varphi(r) = -integral E(r) dr + C
Onde C é a constante de integração. Vamos considerar as duas regiões separadamente.
Para r <= R:
E(r) = A2varepsilon0
Integrando:
varphi(r) = -A2varepsilon0 r + C
Para r > R:
E(r) = A R^22 varepsilon0 r^2
Integrando:
varphi(r) = A R^22 varepsilon0 r + D

Passo 7

Agora, aplicamos a condição de que varphi(infty) = 0. Para r > R, ao enviar r para o infinito:
varphi(infty) = 0 = 0 + D implies D = 0
Então, para r > R:
varphi(r) = A R^22 varepsilon0 r
Para garantir que o potencial seja contínuo em r = R, igualamos os potencias nas duas regiões em r = R:
-A2varepsilon0 R + C = A R^22 varepsilon0 R implies -A R2varepsilon0 + C = A R2 varepsilon0 implies C = A Rvarepsilon0
Então, para r <= R:
varphi(r) = -A2varepsilon0 r + A Rvarepsilon0 = A Rvarepsilon0 - A r2varepsilon0 = A2varepsilon0(2R - r)

Passo 8

Agora, vamos para a parte b), onde a densidade de carga é constante, ou seja, rho = rho0 para 0 <= r <= R e rho = 0 para r > R.

Passo 9

Primeiro, calculamos a carga interna Qint dentro de uma esfera de raio r. Como rho é constante, temos:
Qint = rho0 cdot 43pi r^3

Passo 10

Aplicando a Lei de Gauss, onde o fluxo elétrico é E(r) cdot 4pi r^2 e igual à carga interna dividida por varepsilon0:
E(r) cdot 4pi r^2 = rho0 cdot 43pi r^3varepsilon0 implies E(r) = rho0 r3 varepsilon0
Então, dentro da esfera ( r <= R), o campo elétrico cresce linearmente com r.

Passo 11

Para r > R, a densidade de carga rho = 0, então a carga total da esfera é:
Q = rho0 cdot 43pi R^3
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 implies E(r) = Q4pi varepsilon0 r^2 = rho0 cdot 43pi R^34pi varepsilon0 r^2 = rho0 R^33 varepsilon0 r^2
Então, para fora da esfera ( r > R), o campo elétrico decai com 1/r^2.

Passo 12

Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial eletrostático varphi(r).
Para r <= R:
E(r) = rho0 r3 varepsilon0
Integramos:
varphi(r) = -integral rho0 r3 varepsilon0 dr + C = -rho06 varepsilon0 r^2 + C
Para r > R:
E(r) = rho0 R^33 varepsilon0 r^2
Integramos:
varphi(r) = integral rho0 R^33 varepsilon0 r^2 dr + D = -rho0 R^33 varepsilon0 r + D

Passo 13

Aplicamos a condição varphi(infty) = 0. Para r > R:
varphi(infty) = 0 = 0 + D implies D = 0
Então, para r > R:
varphi(r) = -rho0 R^33 varepsilon0 r
Agora, garantimos a continuidade do potencial em r = R:
-rho06 varepsilon0 R^2 + C = -rho0 R^33 varepsilon0 R + 0 implies -rho0 R^26 varepsilon0 + C = -rho0 R^23 varepsilon0 implies C = -rho0 R^26 varepsilon0
Então, para r <= R:
varphi(r) = -rho06 varepsilon0 r^2 - rho0 R^26 varepsilon0 = -rho06 varepsilon0 (r^2 + R^2)

Resposta

b)
  • Para 0 <= r <= R:
    E(r) = rho0 r3 varepsilon0 r
    varphi(r) = -rho06 varepsilon0(r^2 + R^2)
  • Para r > R:
    E(r) = rho0 R^33 varepsilon0 r^2 r
    varphi(r) = -rho0 R^33 varepsilon0 r

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