Uma casca esférica não condutora de raio interno a1 e raio externo b1 é uniformemente carregada com densidade de carga rho1 dentro de outra casca esférica não condutora de raio interno a2 e raio externo 2 que também é uniformemente carregada com densidade de carga rho2. Encontre o campo elétrico no ponto P a uma distância r do centro comum tal que (a) r>b2, (b) a2, © b1, (d) a1 e (e) r.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos duas cascas esféricas não condutoras, concêntricas.
– A casca interna vai de raio oint Ecdot dA ;=; E(r),4pi r^2 ;=;Qrm intvarepsilon0, até com densidade de carga .
– A casca externa vai de raio até com densidade de carga .
O que a gente quer é achar o campo elétrico em cinco regiões diferentes de :
(a) , (b) , © , (d) e (e) .
Conteúdo: Lei de Gauss para simetria esférica.
O que vamos precisar:
  1. Saber que para uma superfície gaussiana esférica de raio vale
  1. Calcular a carga interna somando pedaços de casca (ou parte dela) até o raio .

Passo 2

Região (a): Q1 = rho1;4pi3l(b1^3 - a1^3r), .
Aqui a esfera de raio Q2 = rho2;4pi3l(b2^3 - a2^3r) envolve as duas cascas inteiras.
– Carga da casca interna:
Qrm int = Q1 + Q2 = 4pi3l[rho1(b1^3 - a1^3)+rho2(b2^3 - a2^3)r]
– Carga da casca externa:
E(r),4pi r^2 = Qrm intvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = rho1l(b1^3 - a1^3r) + rho2l(b2^3 - a2^3r)3varepsilon0,r^2
Logo
Pela Lei de Gauss:

Passo 3

Região (b): Qrm parte,2 = rho2;4pi3(r^3 - a2^3) .
Agora a gaussiana engloba toda casca interna (carga Qrm int = Q1 + Qrm parte,2 = 4pi3l[rho1(b1^3 - a1^3) + rho2(r^3 - a2^3)r] ) e parte da casca externa, de E(r) = rho1(b1^3 - a1^3) + rho2(r^3 - a2^3)3varepsilon0,r^2 até :
Então
E

Passo 4

Região ©: Qrm int = Q1 = 4pi3,rho1(b1^3 - a1^3) .
Aqui a gaussiana envolve só a casca interna inteira, nada da externa:
E(r) = rho1(b1^3 - a1^3)3varepsilon0,r^2
Logo

Passo 5

Região (d): Qrm parte,1 = rho1;4pi3(r^3 - a1^3) .
Agora estamos dentro da casca interna, então só parte dela até E(r) = rho1(r^3 - a1^3)3varepsilon0,r^2 :
Assim

Passo 6

Região (e): E(r) = 0 .
Estamos no “vazio” interno da casca interna, não há carga dentro de .
Pela Lei de Gauss,

Resposta

Portanto, de modo resumido,
E(r)= dfracrho1l(b1^3-a1^3r)+rho2l(b2^3-a2^3r)3varepsilon0,r^2, & r>b2,[6pt] dfracrho1(b1^3-a1^3)+rho2(r^3-a2^3)3varepsilon0,r^2, & a2

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