Uma casca esférica não condutora de raio interno
e raio externo
é uniformemente carregada com densidade de carga
dentro de outra casca esférica não condutora de raio interno
raio externo
que também é uniformemente carregada com densidade de carga
. Encontre o campo elétrico no ponto
a uma distância
do centro comum tal que (a)
, (b)
, ©
, (d)
e (e)
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos duas cascas esféricas não condutoras, concêntricas.
– A casca interna vai de raio até
com densidade de carga
.
– A casca externa vai de raio até
com densidade de carga
.
O que a gente quer é achar o campo elétrico em cinco regiões diferentes de
:
(a) , (b)
, ©
, (d)
e (e)
.
– A casca interna vai de raio
– A casca externa vai de raio
O que a gente quer é achar o campo elétrico
(a)
Conteúdo: Lei de Gauss para simetria esférica.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber que para uma superfície gaussiana esférica de raio
vale
- Calcular a carga interna
somando pedaços de casca (ou parte dela) até o raio .
Passo 2
Região (a):
.
Aqui a esfera de raio envolve as duas cascas inteiras.
– Carga da casca interna:
Aqui a esfera de raio
– Carga da casca interna:
– Carga da casca externa:
Logo
Pela Lei de Gauss:
Passo 3
Região (b):
.
Agora a gaussiana engloba toda casca interna (carga ) e parte da casca externa, de
até
:
Agora a gaussiana engloba toda casca interna (carga
Então
E
Passo 4
Região ©:
.
Aqui a gaussiana envolve só a casca interna inteira, nada da externa:
Aqui a gaussiana envolve só a casca interna inteira, nada da externa:
Logo
Passo 5
Região (d):
.
Agora estamos dentro da casca interna, então só parte dela até :
Agora estamos dentro da casca interna, então só parte dela até
Assim
Passo 6
Região (e):
.
Estamos no “vazio” interno da casca interna, não há carga dentro de .
Pela Lei de Gauss, ⇒
Estamos no “vazio” interno da casca interna, não há carga dentro de
Pela Lei de Gauss,
Resposta
Portanto, de modo resumido,