1. Casca fina de densidade constante Encontre o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo z de uma casca fina de densidade constante \delta cortada do cone x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 pelos planos z=1 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo z de uma casca fina de densidade constante \delta sobre a superfície do cone
x^2 + y^2 - z^2 = 0,
cortado pelos planos z=1 e z=2.
Conteúdo: parametrização de superfície, elemento de área dS, integrais de massa, centro de massa e momento de inércia.

Passo 2

Parametrizamos a casca usando coordenadas cilíndricas adaptadas ao cone:
x = z\cos\theta,\quad y = z\sin\theta,\quad z = z,
com \theta\in[0,2\pi] e z\in[1,2].
Para o elemento de área usamos
\mathbf{r}(z,\theta)=(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;z),
calcula-se
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=(\cos\theta,\sin\theta,1),\quad \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial \theta}=(-z\sin\theta,\;z\cos\theta,\;0),
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dS = \bigl\|\tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}\times\tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}\bigr\|\,dz\,d\theta = z\sqrt{2}\;dz\,d\theta.

Passo 3

A massa total é
m = \iint_S \delta\,dS = \delta\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2} z\sqrt{2}\,dz\,d\theta = \delta\sqrt{2}\,2\pi\int_{1}^{2}z\,dz = \delta\sqrt{2}\,2\pi\cdot\frac{2^2-1^2}{2} =3\pi\delta\sqrt{2}.

Passo 4

Por simetria em \theta, \bar x=\bar y=0. O coordenada z do centro de massa vem de
\bar z =\frac{1}{m}\iint_S z\,\delta\,dS =\frac{\delta\sqrt{2}\,2\pi}{m}\int_{1}^{2}z^2\,dz =\frac{\delta\sqrt{2}\,2\pi\,(2^3-1^3)/3}{3\pi\delta\sqrt{2}} =\frac{14}{9}.

Passo 5

O momento de inércia em relação ao eixo z é
I_z=\iint_S (x^2+y^2)\,\delta\,dS =\delta\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}z^2\,(z\sqrt{2})\,dz\,d\theta =\delta\sqrt{2}\,2\pi\int_{1}^{2}z^3\,dz =\delta\sqrt{2}\,2\pi\cdot\frac{2^4-1^4}{4} =\frac{15\sqrt{2}\,\pi\,\delta}{2}.

Resposta

O centro de massa é
(\bar x,\bar y,\bar z) = \bigl(0,\,0,\,\tfrac{14}{9}\bigr),
e o momento de inércia em relação a z é
I_z = \frac{15\sqrt{2}\,\pi\,\delta}{2}.

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