1. Circulação zero Utilize a identidade \nabla \times \nabla f=\mathbf{0} (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
    a. \mathbf{F}=2 x \mathbf{i}+2 y \mathbf{j}+2 z \mathbf{k}.
    b. \mathbf{F}=\nabla\left(x y^{2} z^{3}\right).
    c. \mathbf{F}=\nabla \times(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}).
    d. \mathbf{F}=\nabla f.
  2. Circulação zero Seja f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1 / 2}. Mostre que a circulação em sentido horário do campo \mathbf{F}=\nabla f ao redor da circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2} no plano x y é zero:
    a. tomando \mathbf{r}=(a \cos t) \mathbf{i}+(a \operatorname{sen} t) \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi, e integrando \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} sobre a circunferência.

Passo 1

O exercício 19 pede para mostrar que a circulação de certos campos vetoriais ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável é zero, usando a identidade
\nabla \times \nabla f = \mathbf{0}
e o teorema de Stokes. O exercício 20(a) pede para calcular diretamente a circulação em sentido horário do campo \mathbf{F}=\nabla f, com
f(x,y,z) = (x^2+y^2+z^2)^{-1/2},
sobre a circunferência x^2+y^2=a^2 no plano xy, usando a parametrização \mathbf{r}(t) = (a\cos t)\,\mathbf{i} + (a\sin t)\,\mathbf{j}, 0\le t\le2\pi.

Passo 2

Para o exercício 19, a ideia é verificar que em cada caso \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} e então usar Stokes:
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =0.
a. \mathbf{F}=2x\,\mathbf{i}+2y\,\mathbf{j}+2z\,\mathbf{k}=\nabla(x^2+y^2+z^2), sendo gradiente, seu rotacional é zero.
b. \mathbf{F}=\nabla(xy^2z^3), também um gradiente, logo \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
c. \mathbf{F}=\nabla\times(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}). Mas \nabla\times(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k})=\mathbf{0}, então \mathbf{F}=\mathbf{0} e sua circulação é zero.
d. \mathbf{F}=\nabla f é gradiente, uso direto da identidade \nabla\times\nabla f=\mathbf{0}.

Passo 3

Para o exercício 20(a), fazemos a curva fechada no plano xy com z=0:
\mathbf{r}(t)=(a\cos t)\,\mathbf{i}+(a\sin t)\,\mathbf{j},\quad d\mathbf{r}=(-a\sin t)\,\mathbf{i}+(a\cos t)\,\mathbf{j}\,dt.
Calculamos \mathbf{F}=\nabla f. Como z=0,
f=(x^2+y^2)^{-1/2}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{F} =-\frac{x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}}{(x^2+y^2)^{3/2}} =-\frac{a\cos t\,\mathbf{i}+a\sin t\,\mathbf{j}}{a^3} =-\frac{\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}}{a^2}.
Então o integrando é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-\frac{1}{a^2}\bigl(\cos t\,(-a\sin t)+\sin t\,(a\cos t)\bigr)\,dt =0\cdot dt.
Integrando de 0 a 2\pi dá zero.

Resposta

  1. a) 0, b) 0, c) 0, d) 0
  2. 0

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