- Circulação zero Utilize a identidade
(Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
- Circulação zero Seja
. Mostre que a circulação em sentido horário do campo
ao redor da circunferência
no plano
é zero:
a. tomando
, e integrando
sobre a circunferência.
a.
b.
c.
d.
a. tomando
Passo 1
O exercício 19 pede para mostrar que a circulação de certos campos vetoriais ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável é zero, usando a identidade
e o teorema de Stokes. O exercício 20(a) pede para calcular diretamente a circulação em sentido horário do campo
, com
sobre a circunferência
no plano
, usando a parametrização
,
.
Passo 2
Para o exercício 19, a ideia é verificar que em cada caso
e então usar Stokes:
a.
, sendo gradiente, seu rotacional é zero.
b. , também um gradiente, logo
.
c. . Mas
, então
e sua circulação é zero.
d. é gradiente, uso direto da identidade
.
b.
c.
d.
Passo 3
Para o exercício 20(a), fazemos a curva fechada no plano
com
:
Calculamos
. Como
,
Então o integrando é
Integrando de
a
dá zero.
Resposta
- a)
, b) , c) , d) -