1. Seja R uma região no plano x y que é limitada por uma curva C fechada, simples e lisa por partes e suponha que os momentos de inércia de R em torno do eixos x e y sejam conhecidos como sendo I_{x} e I_{y}. Calcule a integral
\oint_{C} \nabla\left(r^{4}\right) \cdot \mathbf{n} d s,

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C} \nabla\bigl(r^{4}\bigr)\cdot \mathbf{n}\,ds
onde C é a fronteira de uma região R no plano xy, e são dados os momentos de inércia \,I_{x}=\iint_{R}y^{2}\,dA e \,I_{y}=\iint_{R}x^{2}\,dA.

Passo 2

Observe que podemos interpretar o integrando como o fluxo de um campo vetorial \mathbf{F} sobre C, onde
\mathbf{F}=\nabla\bigl(r^{4}\bigr).
Pela forma bidimensional do Teorema de Green (ou Teorema da Divergência em 2D),
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,ds \;=\;\iint_{R}\nabla\cdot \mathbf{F}\,dA.
Logo basta determinar \nabla\cdot\mathbf{F}.

Passo 3

Escrevendo r^{2}=x^{2}+y^{2}, temos
r^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2},
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\mathbf{F} =\nabla\bigl(r^{4}\bigr) =\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})^{2},\;\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})^{2}\Bigr) =\bigl(4x(x^{2}+y^{2}),\;4y(x^{2}+y^{2})\bigr).
Agora computamos a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[4x(x^{2}+y^{2})\bigr] +\frac{\partial}{\partial y}\bigl[4y(x^{2}+y^{2})\bigr].

Passo 4

Calculando cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[4x(x^{2}+y^{2})\bigr] =4(x^{2}+y^{2})+8x^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl[4y(x^{2}+y^{2})\bigr] =4(x^{2}+y^{2})+8y^{2}.
Somando, obtemos
\nabla\cdot\mathbf{F} =8(x^{2}+y^{2})+8(x^{2}+y^{2}) =16(x^{2}+y^{2}) =16\,r^{2}.

Passo 5

Portanto
\oint_{C}\nabla\bigl(r^{4}\bigr)\cdot \mathbf{n}\,ds =\iint_{R}16\,r^{2}\,dA =16\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dA =16\Bigl(\iint_{R}x^{2}\,dA+\iint_{R}y^{2}\,dA\Bigr).
Pelos momentos de inércia dados, \iint_{R}x^{2}\,dA=I_{y} e \iint_{R}y^{2}\,dA=I_{x}.

Resposta

16\bigl(I_{x}+I_{y}\bigr).

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