- Seja
uma região no plano
que é limitada por uma curva
fechada, simples e lisa por partes e suponha que os momentos de inércia de
em torno do eixos
e
sejam conhecidos como sendo
e
. Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a fronteira de uma região
no plano
, e são dados os momentos de inércia
e
.
Passo 2
Observe que podemos interpretar o integrando como o fluxo de um campo vetorial
sobre
, onde
Pela forma bidimensional do Teorema de Green (ou Teorema da Divergência em 2D),
Logo basta determinar
.
Passo 3
Escrevendo
, temos
logo
Agora computamos a divergência:
Passo 4
Calculando cada termo:
Somando, obtemos
Passo 5
Portanto
Pelos momentos de inércia dados,
e
.