Caso convirjam, determine as integrais impróprias abaixo, caso sejam divergentes, justifique.
1.
\int_{-\infty}^{2} \frac{d x}{(4-x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{2}\frac{dx}{(4-x)^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • O integrando é \frac{1}{(4-x)^{2}}.
  • O intervalo de integração vai de -\infty até 2.
  • Precisamos determinar se a integral converge (isto é, se o valor como limite existe finito) e, se convergir, calcular o valor numérico.
  • Observação importante (apenas identificação): a função tem uma singularidade em x=4 porque o denominador zera aí, mas x=4 não pertence ao intervalo (-\infty,2]. Assim, a única impropriedade vem do limite inferior -\infty.

Passo 2

Transformar a integral imprópria em um limite padrão. Para integrais com limite infinito usamos a definição por limite:
\int_{-\infty}^{2}\frac{dx}{(4-x)^{2}}=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{2}\frac{dx}{(4-x)^{2}}.
Portanto vamos calcular a primitiva (antiderivada) de \frac{1}{(4-x)^{2}} e então aplicar os limites, ficando atentos ao limite quando a\to -\infty.

Passo 3

Calcular a primitiva de \frac{1}{(4-x)^{2}}. Uma maneira direta é usar a substituição u=4-x. Então
u=4-x\quad\Rightarrow\quad du=-dx\quad\Rightarrow\quad dx=-du.
Substituindo na integral indefinida:
\int \frac{dx}{(4-x)^{2}} = \int \frac{-du}{u^{2}} = -\int u^{-2}\,du.
Agora integramos u^{-2}: uma primitiva é -u^{-1}, logo
-\int u^{-2}\,du = -(-u^{-1}) + C = u^{-1}+C.
Voltando para x, obtemos a primitiva
F(x)=\frac{1}{4-x}+C.
(verificação rápida: F'(x)=\dfrac{d}{dx}(4-x)^{-1} = -(4-x)^{-2}\cdot(-1)=(4-x)^{-2}, ok.)

Passo 4

Avaliar a integral definida usando a primitiva e o limite:
Primeiro calcule a integral de a até 2:
\int_{a}^{2}\frac{dx}{(4-x)^{2}} = F(2)-F(a) = \frac{1}{4-2}-\frac{1}{4-a} = \frac{1}{2}-\frac{1}{4-a}.
Agora tomamos o limite quando a\to -\infty. Observe que quando a\to -\infty temos 4-a\to +\infty, portanto
\lim_{a\to -\infty}\frac{1}{4-a}=0.
Assim
\lim_{a\to -\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4-a}\right)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.
Também é intuitivo: o integrando decai como 1/x^{2} para x\to -\infty, e sabemos que integrais do tipo \int_{-\infty}^{-1}\! \frac{1}{x^{2}}dx convergem, então a convergência aqui era esperada.

Passo 5

Conclusão final: a integral imprópria converge e seu valor é \dfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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