Caso convirjam, determine as integrais impróprias abaixo, caso sejam divergentes, justifique.
1.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas e o que é pedido:
- O integrando é
. - O intervalo de integração vai de
até . - Precisamos determinar se a integral converge (isto é, se o valor como limite existe finito) e, se convergir, calcular o valor numérico.
- Observação importante (apenas identificação): a função tem uma singularidade em
porque o denominador zera aí, mas não pertence ao intervalo . Assim, a única impropriedade vem do limite inferior .
Passo 2
Transformar a integral imprópria em um limite padrão. Para integrais com limite infinito usamos a definição por limite:
Portanto vamos calcular a primitiva (antiderivada) de
e então aplicar os limites, ficando atentos ao limite quando
.
Passo 3
Calcular a primitiva de
. Uma maneira direta é usar a substituição
. Então
Substituindo na integral indefinida:
Agora integramos
: uma primitiva é
, logo
Voltando para
, obtemos a primitiva
(verificação rápida:
, ok.)
Passo 4
Avaliar a integral definida usando a primitiva e o limite:
Primeiro calcule a integral de até
:
Primeiro calcule a integral de
Agora tomamos o limite quando
. Observe que quando
temos
, portanto
Assim
Também é intuitivo: o integrando decai como
para
, e sabemos que integrais do tipo
convergem, então a convergência aqui era esperada.
Passo 5
Conclusão final: a integral imprópria converge e seu valor é
.