Para as funções definidas abaixo, determine sua integral definida entre os extremos de seu domínio:
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Passo 1
O enunciado pede: calcular a integral definida da função entre os extremos do seu domínio. A função é dada por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O domínio da função é o intervalo
(inclui e vai até , mas em a função não está definida). - Precisamos integrar
entre os extremos do domínio, ou seja, entre e (isso significa calcular ). - A função tem mudança de expressão em
(peças) e o valor absoluto introduz possíveis mudanças de sinal em pontos onde o argumento do módulo é zero (aqui e ).]
Passo 2
Observações importantes antes de calcular:
- A integral definida não é afetada pelo valor da função em um número finito de pontos (um ponto isolado não altera o valor da integral). Portanto o fato de
não estar definida exatamente em não impede calcular . - Para integrar uma função com valor absoluto, a técnica padrão é dividir o intervalo de integração em subintervalos onde o interior do módulo tem sinal conhecido (positivo ou negativo), substituir o módulo pela expressão correspondente e integrar normalmente.
- Aqui temos duas quebras a considerar: em
o argumento de muda de sinal; em muda a definição da função. Logo vamos dividir a integral como
Essa divisão é válida porque a primeira peça cobre
(inclui
) e a segunda cobre
; como expliquei, o valor no ponto
também não altera o valor da integral, então não há problema na separação.
Passo 3
Trate a primeira integral
.
- Definição de módulo:
se e se . - No intervalo
há a mudança de sinal em . Assim:
Agora vou explicar as antiderivadas que vamos usar:
- Antiderivada de
é . Aqui a variável significa o argumento da função; esse é o polinômio padrão. - Antiderivada de
é (basta multiplicar por ).
Passo 4
Calcule cada parcela da primeira integral:
- Para
usamos a antiderivada . Avaliando de a :
- Para
usamos a antiderivada . Avaliando de a :
Somando as duas parcelas:
Passo 5
Agora trate a segunda integral
.
- Aqui, para
temos , portanto em todo o intervalo . Assim podemos escrever
- Antiderivada de
pode ser obtida como antiderivada de menos antiderivada de , isto é . Outra forma prática é observar que (derivando volta a ). Vou usar esta última porque é direta para limites deslocados:
Passo 6
Some as contribuições das duas peças para obter a integral total:
Interpretação rápida: geometricamente,
é a área sob o V formado por
entre
e
(duas áreas triangulares/retângulos combinados) e
é a área do triângulo de base
e altura
, totalizando
.