Para as funções definidas abaixo, determine sua integral definida entre os extremos de seu domínio:
1.
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} |x| & \text { se }-1 \leq x \leq 2 \\\ |x-2| & \text { se } 2<x<3 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a integral definida da função entre os extremos do seu domínio. A função é dada por
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} |x| & \text{se } -1 \le x \le 2,\\[4pt] |x-2| & \text{se } 2 < x < 3. \end{array} \right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O domínio da função é o intervalo [-1,3) (inclui -1 e vai até 3, mas em 3 a função não está definida).
  • Precisamos integrar f entre os extremos do domínio, ou seja, entre x=-1 e x=3 (isso significa calcular \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x)\,dx).
  • A função tem mudança de expressão em x=2 (peças) e o valor absoluto introduz possíveis mudanças de sinal em pontos onde o argumento do módulo é zero (aqui x=0 e x=2).]

Passo 2

Observações importantes antes de calcular:
  • A integral definida não é afetada pelo valor da função em um número finito de pontos (um ponto isolado não altera o valor da integral). Portanto o fato de f não estar definida exatamente em x=3 não impede calcular \int_{-1}^{3} f(x)\,dx.
  • Para integrar uma função com valor absoluto, a técnica padrão é dividir o intervalo de integração em subintervalos onde o interior do módulo tem sinal conhecido (positivo ou negativo), substituir o módulo pela expressão correspondente e integrar normalmente.
  • Aqui temos duas quebras a considerar: em x=0 o argumento de |x| muda de sinal; em x=2 muda a definição da função. Logo vamos dividir a integral como
\int_{-1}^{3} f(x)\,dx = \int_{-1}^{2} |x|\,dx + \int_{2}^{3} |x-2|\,dx.
Essa divisão é válida porque a primeira peça cobre [-1,2] (inclui 2) e a segunda cobre (2,3); como expliquei, o valor no ponto x=2 também não altera o valor da integral, então não há problema na separação.

Passo 3

Trate a primeira integral \displaystyle\int_{-1}^{2}|x|\,dx.
  • Definição de módulo: |x|= -x se x<0 e |x|=x se x\ge 0.
  • No intervalo [-1,2] há a mudança de sinal em x=0. Assim:
\int_{-1}^{2}|x|\,dx = \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_{0}^{2} x\,dx.
Agora vou explicar as antiderivadas que vamos usar:
  • Antiderivada de x é \displaystyle\frac{x^{2}}{2}. Aqui a variável x significa o argumento da função; esse é o polinômio padrão.
  • Antiderivada de -x é \displaystyle -\frac{x^{2}}{2} (basta multiplicar por -1).

Passo 4

Calcule cada parcela da primeira integral:
  • Para \displaystyle\int_{-1}^{0} (-x)\,dx usamos a antiderivada -\dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando de -1 a 0:
\int_{-1}^{0} (-x)\,dx = \Bigl[-\frac{x^{2}}{2}\Bigr]_{-1}^{0} = \left(-\frac{0^{2}}{2}\right)-\left(-\frac{(-1)^{2}}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}.
  • Para \displaystyle\int_{0}^{2} x\,dx usamos a antiderivada \dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2} x\,dx = \Bigl[\frac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2.
Somando as duas parcelas:
\int_{-1}^{2}|x|\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.

Passo 5

Agora trate a segunda integral \displaystyle\int_{2}^{3}|x-2|\,dx.
  • Aqui, para x>2 temos x-2>0, portanto |x-2|=x-2 em todo o intervalo (2,3). Assim podemos escrever
\int_{2}^{3}|x-2|\,dx = \int_{2}^{3} (x-2)\,dx.
  • Antiderivada de x-2 pode ser obtida como antiderivada de x menos antiderivada de 2, isto é \dfrac{x^{2}}{2}-2x. Outra forma prática é observar que \int (x-2)\,dx = \dfrac{(x-2)^{2}}{2} (derivando \dfrac{(x-2)^{2}}{2} volta a x-2). Vou usar esta última porque é direta para limites deslocados:
\int_{2}^{3} (x-2)\,dx = \Bigl[\frac{(x-2)^{2}}{2}\Bigr]_{2}^{3} = \frac{(3-2)^{2}}{2}-\frac{(2-2)^{2}}{2} = \frac{1^{2}}{2}-0 = \frac{1}{2}.

Passo 6

Some as contribuições das duas peças para obter a integral total:
\int_{-1}^{3} f(x)\,dx = \int_{-1}^{2}|x|\,dx + \int_{2}^{3}|x-2|\,dx = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3.
Interpretação rápida: geometricamente, \int_{-1}^{2}|x|\,dx é a área sob o V formado por |x| entre -1 e 2 (duas áreas triangulares/retângulos combinados) e \int_{2}^{3}|x-2|\,dx é a área do triângulo de base 1 e altura 1, totalizando 3.

Resposta

3

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