\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx = -\tfrac{b}{2}e^{-2b} + \tfrac{1}{4}(1 - e^{-2b}).
Passo 5
Organizo a expressão para facilitar o limite:
\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx = \tfrac{1}{4} - e^{-2b}\Big(\tfrac{b}{2} + \tfrac{1}{4}\Big).
Agora tomo o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[\tfrac{1}{4} - e^{-2b}\Big(\tfrac{b}{2} + \tfrac{1}{4}\Big)\right].
Sabemos que \lim_{b\to\infty} e^{-2b} = 0. Também é necessário ver que \lim_{b\to\infty} b e^{-2b} = 0. Uma forma direta de justificar \lim_{b\to\infty} b e^{-2b}=0 é reescrever
b e^{-2b} = \frac{b}{e^{2b}}
e aplicar a regra de L’Hôpital (caso indeterminado \infty/\infty):
Portanto o termo multiplicado por e^{-2b} tende a zero e sobra
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx = \tfrac{1}{4}.
Passo 6
Conclusão e comentário didático: a integral imprópria converge, porque a parte que depende de b tende a zero quando b\to\infty. O valor final é \tfrac{1}{4}. Observação rápida: existe uma fórmula geral útil (quando você reconhecer rápido na prova) para potências vezes exponencial,