Caso convirjam, determine as integrais impróprias abaixo, caso sejam divergentes, justifique.
3.
\int_{0}^{\infty} x e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x e^{-2 x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é x e^{-2x}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), ou seja, o limite superior é infinito — por isso a integral é imprópria.
  • É preciso decidir se a integral converge (tem valor finito) e, se convergir, calcular esse valor; caso diverja, justificar.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria em intervalo infinito: interpretar
\int_{0}^{\infty} x e^{-2 x}\,dx
como o limite
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx.
Logo vou calcular a integral definida \int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx em função de b e depois tomar o limite quando b\to\infty.

Passo 3

Para calcular \int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx uso integração por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde devemos escolher u e dv. Faço a escolha natural para polinômio vezes exponencial:
u = x,\qquad dv = e^{-2x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
Aplicando a fórmula,
\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx = \left. u v \right|_{0}^{b} - \int_{0}^{b} v\,du = \left. -\tfrac{x}{2}e^{-2x} \right|_{0}^{b} - \int_{0}^{b}\Big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Big)\,dx.

Passo 4

Avalio os termos explicitamente. Primeiro o termo de fronteira:
\left. -\tfrac{x}{2}e^{-2x} \right|_{0}^{b} = -\tfrac{b}{2}e^{-2b} - \big(-\tfrac{0}{2}e^{0}\big) = -\tfrac{b}{2}e^{-2b}.
Agora a integral restante:
- \int_{0}^{b}\Big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Big)\,dx = +\tfrac{1}{2}\int_{0}^{b} e^{-2x}\,dx.
Calculo \int_{0}^{b} e^{-2x}\,dx = \left. -\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right|_{0}^{b} = -\tfrac{1}{2}e^{-2b} - \big(-\tfrac{1}{2}e^{0}\big) = \tfrac{1}{2}(1 - e^{-2b}).
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{b} e^{-2x}\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}(1 - e^{-2b}) = \tfrac{1}{4}(1 - e^{-2b}).
Somando com o termo de fronteira:
\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx = -\tfrac{b}{2}e^{-2b} + \tfrac{1}{4}(1 - e^{-2b}).

Passo 5

Organizo a expressão para facilitar o limite:
\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx = \tfrac{1}{4} - e^{-2b}\Big(\tfrac{b}{2} + \tfrac{1}{4}\Big).
Agora tomo o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[\tfrac{1}{4} - e^{-2b}\Big(\tfrac{b}{2} + \tfrac{1}{4}\Big)\right].
Sabemos que \lim_{b\to\infty} e^{-2b} = 0. Também é necessário ver que \lim_{b\to\infty} b e^{-2b} = 0. Uma forma direta de justificar \lim_{b\to\infty} b e^{-2b}=0 é reescrever
b e^{-2b} = \frac{b}{e^{2b}}
e aplicar a regra de L’Hôpital (caso indeterminado \infty/\infty):
\lim_{b\to\infty}\frac{b}{e^{2b}} = \lim_{b\to\infty}\frac{1}{2 e^{2b}} = 0.
Portanto o termo multiplicado por e^{-2b} tende a zero e sobra
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} x e^{-2 x}\,dx = \tfrac{1}{4}.

Passo 6

Conclusão e comentário didático: a integral imprópria converge, porque a parte que depende de b tende a zero quando b\to\infty. O valor final é \tfrac{1}{4}. Observação rápida: existe uma fórmula geral útil (quando você reconhecer rápido na prova) para potências vezes exponencial,
\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-a x}\,dx = \frac{n!}{a^{n+1}}\quad\text{para }n\in\mathbb{N},\\ a>0.
Aplicando com n=1 e a=2 \frac{1!}{2^{2}}=\tfrac{1}{4}, que confirma o resultado.

Resposta

Converge e vale \displaystyle \frac{1}{4}.

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