No caso de uma curva fechada que envolve mais de uma corrente, como é determinada a corrente total a ser usada na lei de Ampère?

Passo 1

O que a pergunta pede: explicar, quando uma curva fechada envolve mais de uma corrente, como se determina a “corrente total” que entra no lado direito da lei de Ampère.
Informações dadas (implícitas na pergunta): existe uma curva fechada \mathcal{C} no espaço e há várias correntes (fios ou distribuições de corrente) que atravessam qualquer superfície cuja borda seja \mathcal{C}. A dúvida é: quais correntes e com que sinal entram no valor que se usa em Ampère?

Passo 2

Enunciado matemático da lei de Ampère (forma magnetostática):
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{B} é o campo magnético ao longo da curva \mathcal{C}.
  • d\mathbf{l} é o elemento de comprimento orientado ao longo de \mathcal{C}.
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.
  • I_{\text{enc}} é a corrente “encerrada” pela curva \mathcal{C} — é exatamente o que precisamos saber como determinar.

Passo 3

Definição precisa de I_{\text{enc}}: escolha qualquer superfície orientada S cuja borda seja a curva \mathcal{C} (ou seja, \partial S=\mathcal{C}). A corrente encerrada é a integral do vetor densidade de corrente \mathbf{J} através dessa superfície:
I_{\text{enc}}=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S},
onde d\mathbf{S}=\hat{\mathbf{n}}\,dS e \hat{\mathbf{n}} é a normal escolhida para S. Em palavras: somar (integrar) a componente da densidade de corrente que atravessa a superfície, com sinal.

Passo 4

Caso discreto (vários fios): se as correntes são fios finos que atravessam S em pontos distintos, a integral vira uma soma algébrica simples:
I_{\text{enc}}=\sum_{k} s_k I_k,
onde I_k é a intensidade do k-ésimo fio e s_k é um sinal +1 se o fio atravessa S no sentido da normal \hat{\mathbf{n}} e s_k=-1 se atravessa no sentido oposto. Se um fio não atravessa S (fica “por fora”), então ele não aparece na soma ( s_k=0).

Passo 5

Como determinar o sinal na prática (regra prática e intuitiva):
  1. Escolha uma orientação para \mathcal{C} (sentido de percorrer a curva).
  2. Use a regra da mão direita (convenção de orientação): com os dedos seguindo o sentido escolhido em \mathcal{C}, o polegar indica a direção positiva da normal \hat{\mathbf{n}} da superfície S.
  3. Para cada fio que atravessa o plano da superfície, se a corrente aponta na mesma direção do polegar conta como +, senão conta como -.
    Exemplo numérico: dois fios atravessam S, com correntes I_1=3\\ \text{A} e I_2=2\\ \text{A}. Se ambas atravessam no mesmo sentido da normal, então
I_{\text{enc}}=3+2=5\\ \text{A}.
Se I_1 atravessa no sentido positivo e I_2 no sentido oposto,
I_{\text{enc}}=3-2=1\\ \text{A}.

Passo 6

Por que posso escolher qualquer superfície com a mesma borda \mathcal{C}? (consistência)
  • Da lei local de Maxwell em regime estacionário vale \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}. Pelo teorema de Stokes,
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S} =\mu_0\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}=\mu_0 I_{\text{enc}}.
  • Se escolher outra superfície S' com a mesma borda, a diferença entre os dois I_{\text{enc}} é a integral de \nabla\cdot\mathbf{J} sobre o volume entre S e S'. Para correntes estacionárias temos conservação de carga local \nabla\cdot\mathbf{J}=-\partial \rho/\partial t=0, logo a diferença é zero. Assim I_{\text{enc}} é independente da superfície escolhida (no regime estacionário).

Passo 7

Observações importantes que caem em prova:
  • Correntes que estão fora da superfície S (não a atravessam) NÃO entram em I_{\text{enc}}. Mas atenção: essas correntes externas produzem campo magnético e podem mudar o valor do integrando \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} — ou seja, Ampère continua válida, mas não é sempre prático usar Ampère para achar \mathbf{B} se houver correntes externas quebrando simetria.
  • Se a corrente for distribuída (não fios finos), calcule a integral \iint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}; se for fio fino use soma algébrica.

Passo 8

Quando precisar incluir a correção de Maxwell (situação não estacionária): a forma completa é a lei de Ampère–Maxwell
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\text{enc}}+\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},
onde \Phi_E=\iint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} é o fluxo elétrico pela superfície. Em presença de campos elétricos variando no tempo, o termo de deslocamento \mu_0\varepsilon_0 d\Phi_E/dt deve ser somado — aí não basta somar só as correntes de fios, é preciso incluir esse termo adicional.

Passo 9

Receita de prova (passo a passo rápido):
  1. Escreva a lei \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\text{enc}} (ou a forma com deslocamento se for o caso).
  2. Escolha uma orientação para \mathcal{C} e a normal correspondente à superfície S.
  3. Conte todos os fios que atravessam S; atribua sinal + ou - conforme o sentido de cada corrente em relação à normal.
  4. Some algébrica ou integre \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} para obter I_{\text{enc}}.
  5. Substitua em Ampère.

Passo 10

Exemplos de fixação rápidos:
  • Três fios atravessam S com correntes 4\\ \text{A} (para cima), 5\\ \text{A} (para baixo) e 2\\ \text{A} (para cima). Se a normal aponta para cima,
I_{\text{enc}}=4-5+2=1\\ \text{A}.
  • Uma lâmina de corrente superficial com densidade \mathbf{K} atravessa S; então I_{\text{enc}}=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{K}\cdot d\mathbf{l} dependendo da geometria — usar integração apropriada.

Resposta

A corrente total a usar em Ampère é a soma algébrica das correntes que atravessam uma superfície S qualquer cuja borda seja a curva \mathcal{C}; formalmente
I_{\text{enc}}=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}=\sum_k s_k I_k,
com s_k=+1 se o k-ésimo fio atravessa S no sentido da normal (definida pela orientação de \mathcal{C}) e s_k=-1 se atravessa no sentido oposto. Em regime estacionário essa soma é independente da superfície escolhida; se houver campos elétricos variando no tempo é preciso acrescentar o termo de deslocamento \mu_0\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt.

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