No caso de uma curva fechada que envolve mais de uma corrente, como é determinada a corrente total a ser usada na lei de Ampère?
Passo 1
O que a pergunta pede: explicar, quando uma curva fechada envolve mais de uma corrente, como se determina a “corrente total” que entra no lado direito da lei de Ampère.
Informações dadas (implícitas na pergunta): existe uma curva fechada no espaço e há várias correntes (fios ou distribuições de corrente) que atravessam qualquer superfície cuja borda seja
. A dúvida é: quais correntes e com que sinal entram no valor que se usa em Ampère?
Informações dadas (implícitas na pergunta): existe uma curva fechada
Passo 2
Enunciado matemático da lei de Ampère (forma magnetostática):
Explicando cada símbolo:
-
é o campo magnético ao longo da curva . -
é o elemento de comprimento orientado ao longo de . -
é a permeabilidade do vácuo. -
é a corrente “encerrada” pela curva — é exatamente o que precisamos saber como determinar.
Passo 3
Definição precisa de
: escolha qualquer superfície orientada
cuja borda seja a curva
(ou seja,
). A corrente encerrada é a integral do vetor densidade de corrente
através dessa superfície:
onde
e
é a normal escolhida para
. Em palavras: somar (integrar) a componente da densidade de corrente que atravessa a superfície, com sinal.
Passo 4
Caso discreto (vários fios): se as correntes são fios finos que atravessam
em pontos distintos, a integral vira uma soma algébrica simples:
onde
é a intensidade do
-ésimo fio e
é um sinal
se o fio atravessa
no sentido da normal
e
se atravessa no sentido oposto. Se um fio não atravessa
(fica “por fora”), então ele não aparece na soma (
).
Passo 5
Como determinar o sinal na prática (regra prática e intuitiva):
- Escolha uma orientação para
(sentido de percorrer a curva). - Use a regra da mão direita (convenção de orientação): com os dedos seguindo o sentido escolhido em
, o polegar indica a direção positiva da normal da superfície . - Para cada fio que atravessa o plano da superfície, se a corrente aponta na mesma direção do polegar conta como
, senão conta como .
Exemplo numérico: dois fios atravessam, com correntes e . Se ambas atravessam no mesmo sentido da normal, então
Se
atravessa no sentido positivo e
no sentido oposto,
Passo 6
Por que posso escolher qualquer superfície com a mesma borda
? (consistência)
- Da lei local de Maxwell em regime estacionário vale
. Pelo teorema de Stokes,
- Se escolher outra superfície
com a mesma borda, a diferença entre os dois é a integral de sobre o volume entre e . Para correntes estacionárias temos conservação de carga local , logo a diferença é zero. Assim é independente da superfície escolhida (no regime estacionário).
Passo 7
Observações importantes que caem em prova:
- Correntes que estão fora da superfície
(não a atravessam) NÃO entram em . Mas atenção: essas correntes externas produzem campo magnético e podem mudar o valor do integrando — ou seja, Ampère continua válida, mas não é sempre prático usar Ampère para achar se houver correntes externas quebrando simetria. - Se a corrente for distribuída (não fios finos), calcule a integral
; se for fio fino use soma algébrica.
Passo 8
Quando precisar incluir a correção de Maxwell (situação não estacionária): a forma completa é a lei de Ampère–Maxwell
onde
é o fluxo elétrico pela superfície. Em presença de campos elétricos variando no tempo, o termo de deslocamento
deve ser somado — aí não basta somar só as correntes de fios, é preciso incluir esse termo adicional.
Passo 9
Receita de prova (passo a passo rápido):
- Escreva a lei
(ou a forma com deslocamento se for o caso). - Escolha uma orientação para
e a normal correspondente à superfície . - Conte todos os fios que atravessam
; atribua sinal ou conforme o sentido de cada corrente em relação à normal. - Some algébrica ou integre
para obter . - Substitua em Ampère.
Passo 10
Exemplos de fixação rápidos:
- Três fios atravessam
com correntes (para cima), (para baixo) e (para cima). Se a normal aponta para cima,
- Uma lâmina de corrente superficial com densidade
atravessa ; então dependendo da geometria — usar integração apropriada.
Resposta
A corrente total a usar em Ampère é a soma algébrica das correntes que atravessam uma superfície
qualquer cuja borda seja a curva
; formalmente
com
se o
-ésimo fio atravessa
no sentido da normal (definida pela orientação de
) e
se atravessa no sentido oposto. Em regime estacionário essa soma é independente da superfície escolhida; se houver campos elétricos variando no tempo é preciso acrescentar o termo de deslocamento
.