Quando o movimento de uma partícula carregada, sob a ação de um campo magnético, será retilíneo, circular ou helicoidal?

Passo 1

O enunciado pergunta: quando, para uma partícula carregada sujeita a um campo magnético, o movimento será retilíneo, circular ou helicoidal?
Informações relevantes (assumidas quando o enunciado não especifica): a partícula tem carga q, massa m e velocidade inicial \vec v; existe um campo magnético \vec B. Pressupõe-se, salvo indicação em contrário, que \vec B é uniforme e constante no tempo e que não há outros campos (por exemplo, campo elétrico) atuando.

Passo 2

Princípio físico básico (fórmula): a força magnética sobre uma partícula carregada é dada pela regra da força de Lorentz:
\vec F = q\,\vec v\times\vec B.
Explicando isso devagar: o símbolo \times é o produto vetorial. O produto vetorial entre \vec v e \vec B produz um vetor perpendicular a ambos, com magnitude |\vec v||\vec B|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec v e \vec B. Então a magnitude da força magnética é
F = |q|\,vB\sin\theta,
onde v=|\vec v| e B=|\vec B|. Observação importante: a força magnética é sempre perpendicular à velocidade instantânea da partícula (ou nula), portanto não faz trabalho sobre a partícula e não altera a energia cinética (a velocidade escalar v fica constante, embora a direção possa mudar).

Passo 3

Decomposição da velocidade: escrevemos a velocidade em duas componentes relativas ao campo:
\vec v = \vec v_{\parallel} + \vec v_{\perp},
onde \vec v_{\parallel} é paralela a \vec B e \vec v_{\perp} é perpendicular a \vec B. Como \vec v_{\parallel}\times\vec B=\vec 0, apenas \vec v_{\perp} contribui para a força magnética:
\vec F = q\,\vec v_{\perp}\times\vec B.

Passo 4

Caso retilíneo: quando a partícula se move em linha reta. Existem duas situações que levam a isso:
  • se a partícula está em repouso inicial com \vec v=\vec 0, então \vec F=\vec 0 e ela permanece em repouso (movimento trivialmente retilíneo nulo);
  • e, mais importante, se a velocidade está totalmente paralela (ou antiparalela) ao campo: \vec v_{\perp}=\vec 0 (ou seja \vec v paralelo a \vec B). Neste caso \vec v\times\vec B=\vec 0 e \vec F=\vec 0, então não há força para desviar a partícula e ela continua em movimento retilíneo uniforme na direção de \vec B. Conclusão: movimento retilíneo quando \vec v é colinear com \vec B (ou \vec v=0).

Passo 5

Caso circular (plano perpendicular a \vec B): suponha que a velocidade inicial seja totalmente perpendicular ao campo: \vec v=\vec v_{\perp} e \vec v_{\parallel}=0. Então a força magnética tem direção perpendicular a \vec v e aponta para o centro da trajetória, atuando como força centrípeta. Igualando magnitudes:
\frac{m v^2}{r} = |q| v B,
onde r é o raio da curva circular e usei v=|\vec v|. Simplificando:
r = \frac{m v}{|q| B}.
A partícula descreve, portanto, movimento circular uniforme num plano perpendicular a \vec B. A velocidade escalar v permanece constante. A velocidade angular (frequência ciclotrônica) é
\omega = \frac{|q| B}{m},
e o período é
T = \frac{2\pi m}{|q| B}.
Obs.: o sinal de q determina o sentido de rotação (sentido horário ou anti-horário visto numa direção do campo), pois a direção de \vec v\times\vec B muda quando q muda de sinal.

Passo 6

Caso helicoidal (spiral ao longo de \vec B): se a velocidade inicial tem componentes tanto paralela quanto perpendicular ao campo ( \vec v_{\parallel}\neq\vec 0 e \vec v_{\perp}\neq\vec 0), cada componente faz o seguinte:
  • \vec v_{\perp} provoca a rotação circular em torno das linhas de campo, com raio r=\dfrac{m v_{\perp}}{|q|B} e período T=\dfrac{2\pi m}{|q|B} (como no passo anterior);
  • \vec v_{\parallel} não sofre força magnética e, portanto, permanece constante, fazendo a partícula se deslocar ao longo da direção de \vec B enquanto gira.
    A superposição desses dois movimentos resulta numa hélice (movimento helicoidal). O passo (pitch) da hélice, isto é, o deslocamento ao longo de \vec B em um período, vale
p = v_{\parallel}\,T = v_{\parallel}\,\frac{2\pi m}{|q|B}.

Passo 7

Sentido da rotação e direção do eixo: para determinar o sentido da circunferência vista a partir de uma ponta da linha de campo, usa-se a regra da mão direita para o produto vetorial \vec v\times\vec B. Para q>0 a força segue \vec v\times\vec B; para q<0 a força tem sentido oposto. Em termos práticos: cargas positivas giram num sentido, cargas negativas giram no sentido contrário, quando observadas da mesma extremidade do vetor \vec B.

Passo 8

Observações e limitações: tudo que dissemos vale para campo magnético uniforme e ausência de outras forças. Se houver campo elétrico, gradientes de \vec B (campo não uniforme) ou colisões, a trajetória pode ser mais complicada (deriva, espelhamento magnético, compressão, etc.). Também importante: a força magnética não altera a velocidade escalar v, só altera a direção (portanto v constante enquanto só houver \vec B).

Passo 9

Resumo didático rápido (regra prática para a prova): decomponha \vec v em paralelo e perpendicular a \vec B.
  • Se \vec v_{\perp}=0 então movimento retilíneo.
  • Se \vec v_{\parallel}=0 então movimento circular com raio r=\dfrac{m v}{|q|B}.
  • Se ambas não nulas então hélice com raio r=\dfrac{m v_{\perp}}{|q|B} e passo p=v_{\parallel}\,\dfrac{2\pi m}{|q|B}.

Resposta

Retilíneo quando \vec v é paralelo (ou antiparalelo) a \vec B (ou \vec v=\vec 0).
Circular quando \vec v é puramente perpendicular a \vec B; o raio é r=\dfrac{m v}{|q|B}.
Helicoidal quando \vec v tem componentes paralela e perpendicular a \vec B; o raio é r=\dfrac{m v_{\perp}}{|q|B} e o passo é p=v_{\parallel}\dfrac{2\pi m}{|q|B}.

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