Para o caso mais interessante (amortecimento fraco), o termo dentro da raiz quadrada é negativo. Nossa missão é interpretar o que uma raiz complexa significa para o movimento físico.
A Parte Real (O Decaimento): Identifique a parte real de
. A solução
terá um termo
. O que um expoente real e negativo faz com uma função ao longo do tempo?
A Parte Real (O Decaimento): Identifique a parte real de
Passo 1
O enunciado diz que, no caso de amortecimento fraco, as raízes são complexas e a solução tem a forma
. As perguntas são: (1) qual é a parte real de
? e (2) o que um expoente real e negativo faz com uma função ao longo do tempo? Informações relevantes dadas: a raiz é complexa (ou seja,
tem uma parte real e uma imaginária) e a solução envolve
.
Passo 2
Escrevemos a raiz complexa no formato padrão
onde
é a parte real e
é a parte imaginária (números reais). Portanto, a parte real de
é
. Em muitos problemas de amortecimento (se quiser relacionar),
costuma ser negativo e igual a
ou
, mas aqui basta reconhecer que a parte real é
.
Passo 3
Use a exponenciação de número complexo para separar os fatores real e oscilatório:
Pelo Teorema de Euler,
. Quando tomamos a parte real da solução física, obtemos uma forma do tipo
onde
e
são constantes ajustadas às condições iniciais. Observe a separação clara: há um fator oscilatório
e um fator de amplitude
.
Passo 4
Interpretação do fator
: se
(parte real negativa), então
é uma exponencial decrescente. Isso significa que a amplitude das oscilações é multiplicada por um envelope que tende a zero quando
. Em palavras: as oscilações continuam (por causa de
), mas sua amplitude diminui exponencialmente com o tempo.
Passo 5
Caracterizações úteis para a prova (fórmulas e intuições):
ou seja, em tempo
a amplitude foi reduzida a
(aprox.
) do valor inicial. A meia-vida da amplitude (tempo para reduzir à metade) é
Exemplo numérico rápido: se
, então
e em
a amplitude vale
vezes a inicial; em
ela cai para metade.
Passo 6
Conclusão física e de estabilidade: uma parte real negativa implica que a solução é assintoticamente estável — as oscilações morrem com o tempo e o sistema tende ao equilíbrio. Se a parte real fosse zero, as oscilações manteriam amplitude constante; se positiva, as oscilações cresceriam (instabilidade). Na prova: identifique
, escreva
e leia imediatamente o envelope
. Você consegue — esse é o passo-chave nas questões de amortecimento.
Resposta
A parte real de
é
(em muitos casos de amortecimento é
, ou seja, negativa).
Um expoente real e negativo faz com que a função seja multiplicada por com
, ou seja, a amplitude decai exponencialmente ao longo do tempo (envelope
que tende a zero); a constante de tempo é
e a meia-vida é
.
Um expoente real e negativo faz com que a função seja multiplicada por