Para o caso mais interessante (amortecimento fraco), o termo dentro da raiz quadrada é negativo. Nossa missão é interpretar o que uma raiz complexa significa para o movimento físico.
A Parte Real (O Decaimento): Identifique a parte real de \lambda. A solução x(t) \propto e^{\lambda t} terá um termo e^{\text {(parte real) } \cdot t}. O que um expoente real e negativo faz com uma função ao longo do tempo?

Passo 1

O enunciado diz que, no caso de amortecimento fraco, as raízes são complexas e a solução tem a forma x(t)\propto e^{\lambda t}. As perguntas são: (1) qual é a parte real de \lambda? e (2) o que um expoente real e negativo faz com uma função ao longo do tempo? Informações relevantes dadas: a raiz é complexa (ou seja, \lambda tem uma parte real e uma imaginária) e a solução envolve e^{\lambda t}.

Passo 2

Escrevemos a raiz complexa no formato padrão
\lambda=\alpha\pm i\beta,
onde \alpha é a parte real e \beta é a parte imaginária (números reais). Portanto, a parte real de \lambda é \alpha. Em muitos problemas de amortecimento (se quiser relacionar), \alpha costuma ser negativo e igual a -\dfrac{c}{2m} ou -\gamma, mas aqui basta reconhecer que a parte real é \alpha.

Passo 3

Use a exponenciação de número complexo para separar os fatores real e oscilatório:
e^{\lambda t}=e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}\,e^{i\beta t}.
Pelo Teorema de Euler, e^{i\beta t}=\cos(\beta t)+i\sin(\beta t). Quando tomamos a parte real da solução física, obtemos uma forma do tipo
x(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes ajustadas às condições iniciais. Observe a separação clara: há um fator oscilatório \cos(\beta t) e um fator de amplitude e^{\alpha t}.

Passo 4

Interpretação do fator e^{\alpha t}: se \alpha<0 (parte real negativa), então e^{\alpha t} é uma exponencial decrescente. Isso significa que a amplitude das oscilações é multiplicada por um envelope que tende a zero quando t\to\infty. Em palavras: as oscilações continuam (por causa de \cos(\beta t)), mas sua amplitude diminui exponencialmente com o tempo.

Passo 5

Caracterizações úteis para a prova (fórmulas e intuições):
\text{constante de tempo: }\tau=-\frac{1}{\alpha}\quad(\text{para }\alpha<0),
ou seja, em tempo \tau a amplitude foi reduzida a e^{-1} (aprox. 37\%) do valor inicial. A meia-vida da amplitude (tempo para reduzir à metade) é
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{-\alpha}.
Exemplo numérico rápido: se \alpha=-0{,}5, então \tau=2 e em t=2 a amplitude vale e^{-1}\approx0{,}37 vezes a inicial; em t_ {1/2}=\dfrac{\ln 2}{0{,}5}\approx1{,}386 ela cai para metade.

Passo 6

Conclusão física e de estabilidade: uma parte real negativa implica que a solução é assintoticamente estável — as oscilações morrem com o tempo e o sistema tende ao equilíbrio. Se a parte real fosse zero, as oscilações manteriam amplitude constante; se positiva, as oscilações cresceriam (instabilidade). Na prova: identifique \text{Re}(\lambda), escreva e^{\lambda t}=e^{\text{Re}(\lambda)\,t}e^{i\,\text{Im}(\lambda)\,t} e leia imediatamente o envelope e^{\text{Re}(\lambda)\,t}. Você consegue — esse é o passo-chave nas questões de amortecimento.

Resposta

A parte real de \lambda é \text{Re}(\lambda)=\alpha (em muitos casos de amortecimento é \alpha=-\dfrac{c}{2m}, ou seja, negativa).
Um expoente real e negativo faz com que a função seja multiplicada por e^{\alpha t} com \alpha<0, ou seja, a amplitude decai exponencialmente ao longo do tempo (envelope e^{\alpha t} que tende a zero); a constante de tempo é \tau=-1/\alpha e a meia-vida é t_{1/2}=\ln 2/(-\alpha).

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