A Descoberta das Raízes: Use a fórmula de Bhaskara para resolver a equação característica e encontrar as duas possíveis soluções para
. Mostre, passo a passo, que as raízes podem ser escritas como:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação característica e encontrar as duas possíveis soluções para
, mostrando passo a passo que as raízes podem ser escritas como
Informações relevantes fornecidas (ou implicitamente necessárias):
- A equação característica é um polinômio quadrático em
com coeficientes , e . Escrevemos essa equação como . - Para aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) é necessário que
(caso contrário não temos um quadrático). - O objetivo é aplicar Bhaskara e reescrever o resultado na forma pedida.
Passo 2
Apresentando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) e explicando o que cada letra significa: para qualquer equação quadrática genérica
as soluções para
são dadas por
Aqui:
-
é o coeficiente do termo quadrático ( ); -
é o coeficiente do termo linear ( ); -
é o termo constante; - o discriminante é
e indica se as raízes são reais, iguais ou complexas.
Breve justificativa (intuição): a fórmula surge ao dividir por(para deixar o coeficiente do quadrado igual a 1) e completar o quadrado; o aparece porque a equação quadrática tem, no máximo, duas solutions simétricas em torno do vértice.
Passo 3
Mapeando a nossa equação característica para a forma genérica: na equação
temos
,
e
. Lembrete: estamos assumindo
para que seja realmente um quadrático.
Passo 4
Aplicando diretamente a fórmula de Bhaskara com
,
,
:
Expliquei o passo: substituí
e
e
na expressão
.
Passo 5
Vamos manipular essa expressão para chegar à forma desejada. Primeiro, separamos a fração:
Aqui usei a propriedade de que
.
Passo 6
Agora transformamos a segunda parcela em uma raiz única mais conveniente. Observamos que
Justificativa: para
podemos escrever
porque
, e quando
isso coincide com
; mais importante para manipular algebricamente, vale a identidade
(tomando cuidado com sinais caso necessário; o objetivo aqui é reescrever a expressão).
Passo 7
Desenvolvendo o radicando:
Expliquei: dividi cada termo do numerador por
. No segundo termo
pois um
cancela.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão para
obtemos
Pronto — esta é exatamente a forma pedida. Comentário didático final: essa escrita é útil porque mostra a parte real central
(que desloca as raízes) e, dentro da raiz, a comparação entre
e
determina se as raízes são reais distintas, iguais ou complexas (se o termo dentro da raiz for positivo, zero ou negativo, respectivamente).