A Descoberta das Raízes: Use a fórmula de Bhaskara para resolver a equação característica e encontrar as duas possíveis soluções para \lambda. Mostre, passo a passo, que as raízes podem ser escritas como:
\lambda=-\frac{b}{2 m} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2 m}\right)^{2}-\frac{k}{m}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação característica e encontrar as duas possíveis soluções para \lambda, mostrando passo a passo que as raízes podem ser escritas como
\lambda=-\frac{b}{2 m} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2 m}\right)^{2}-\frac{k}{m}}.
Informações relevantes fornecidas (ou implicitamente necessárias):
  • A equação característica é um polinômio quadrático em \lambda com coeficientes m, b e k. Escrevemos essa equação como \displaystyle m\lambda^{2}+b\lambda+k=0.
  • Para aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) é necessário que m\neq 0 (caso contrário não temos um quadrático).
  • O objetivo é aplicar Bhaskara e reescrever o resultado na forma pedida.

Passo 2

Apresentando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) e explicando o que cada letra significa: para qualquer equação quadrática genérica
A x^{2}+B x+C=0,
as soluções para x são dadas por
x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}.
Aqui:
  • A é o coeficiente do termo quadrático ( x^{2});
  • B é o coeficiente do termo linear ( x);
  • C é o termo constante;
  • o discriminante é B^{2}-4AC e indica se as raízes são reais, iguais ou complexas.
    Breve justificativa (intuição): a fórmula surge ao dividir por A (para deixar o coeficiente do quadrado igual a 1) e completar o quadrado; o \pm aparece porque a equação quadrática tem, no máximo, duas solutions simétricas em torno do vértice.

Passo 3

Mapeando a nossa equação característica para a forma genérica: na equação
m\lambda^{2}+b\lambda+k=0
temos A=m, B=b e C=k. Lembrete: estamos assumindo m\neq 0 para que seja realmente um quadrático.

Passo 4

Aplicando diretamente a fórmula de Bhaskara com A=m, B=b, C=k:
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4 m k}}{2 m}.
Expliquei o passo: substituí B=b e A=m e C=k na expressão \displaystyle \frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}.

Passo 5

Vamos manipular essa expressão para chegar à forma desejada. Primeiro, separamos a fração:
\lambda=\frac{-b}{2m}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4 m k}}{2m}.
Aqui usei a propriedade de que \displaystyle\frac{X\pm Y}{Z}=\frac{X}{Z}\pm\frac{Y}{Z}.

Passo 6

Agora transformamos a segunda parcela em uma raiz única mais conveniente. Observamos que
\frac{\sqrt{b^{2}-4 m k}}{2m}=\sqrt{\frac{b^{2}-4 m k}{(2m)^{2}}}.
Justificativa: para 2m\neq 0 podemos escrever \displaystyle\frac{\sqrt{S}}{2m}=\sqrt{\frac{S}{(2m)^{2}}} porque \sqrt{(2m)^{2}}=|2m|, e quando m>0 isso coincide com 2m; mais importante para manipular algebricamente, vale a identidade \displaystyle\frac{\sqrt{S}}{2m}=\sqrt{\frac{S}{4m^{2}}} (tomando cuidado com sinais caso necessário; o objetivo aqui é reescrever a expressão).

Passo 7

Desenvolvendo o radicando:
\frac{b^{2}-4 m k}{4 m^{2}}=\frac{b^{2}}{4 m^{2}}-\frac{4 m k}{4 m^{2}}=\left(\frac{b}{2m}\right)^{2}-\frac{k}{m}.
Expliquei: dividi cada termo do numerador por 4m^{2}. No segundo termo \displaystyle\frac{4 m k}{4 m^{2}}=\frac{k}{m} pois um m cancela.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para \lambda obtemos
\lambda=-\frac{b}{2m}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2m}\right)^{2}-\frac{k}{m}}.
Pronto — esta é exatamente a forma pedida. Comentário didático final: essa escrita é útil porque mostra a parte real central -\dfrac{b}{2m} (que desloca as raízes) e, dentro da raiz, a comparação entre \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2} e \dfrac{k}{m} determina se as raízes são reais distintas, iguais ou complexas (se o termo dentro da raiz for positivo, zero ou negativo, respectivamente).

Resposta

\lambda=-\dfrac{b}{2 m}\pm\sqrt{\left(\dfrac{b}{2 m}\right)^{2}-\dfrac{k}{m}}

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