(1) Caso seja possivel, encontre o valor dos seguintes limites, justificando sua resposta.
  • lim x 1(3 x^2-25 x)
    cdot lim x 1 2 x-1x^3+3 x-1
  • lim x 9 raizx-3x-9
    cdot lim x -1(x^5-4 x^4+3 x+7) cdot lim x 0 x^99-1x^7+3 x+1
  • lim x -4 x+4raiz-x-2
  • lim x 2(x^3-8)
  • lim x 4 x-4x^2-16
    . lim x -1 x+1raiz-x-1
  • lim x 1(x^2+x)(2 x-3)
  • lim x 4 raizx-2x-4
    . lim x 9 raizx-9raizx-3
    cdot lim x 3(3 x^2-25)(x^2-8) cdot lim x 1 x^3-1x-1
    . lim x 0 raizraiz[3]x+1-1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular quinze limites de funções elementares usando continuidade, fatoração e racionalização. Vamos usar:
– Para funções polinomiais e quocientes com denominador não nulo no ponto, a propriedade de continuidade permite substituir x diretamente.
– Para indeterminações do tipo tfrac00 em quocientes de polinômios, usar fatoração e cancelamento.
– Para indeterminações envolvendo raiz, racionalizar multiplicando pelo conjugado.
– Para a raiz cúbica, usar a identidade u^3 - v^3 = (u-v)(u^2 + uv + v^2) dentro de uma raiz.

Passo 2

Limites por substituição direta (funções contínuas no ponto):
limxto1(3x^2 - 25x) = 3cdot1^2 - 25cdot1 = -22
limxto-1(x^5 - 4x^4 + 3x +7) = (-1)^5 -4(-1)^4 +3(-1) +7 = -1 -4 -3 +7 = -1
limxto2(x^3 - 8) = 2^3 -8 = 0
limxto3(3x^2 -25)(x^2 -8) = (3cdot9 -25)(9-8) = (27-25)cdot1 = 2
limxto1(x^2 + x)(2x -3) = (1+1)(2-3) = 2cdot(-1) = -2
limxto0x^99-1x^7 +3x +1 = 0^99-10^7+0+1 = -11 = -1
limxto12x-1x^3+3x-1 = 2cdot1 -11+3-1 = 13

Passo 3

Fatoração e cancelamento em quocientes polinomiais:
limxto1x^3-1x-1 =limxto1(x-1)(x^2+x+1)x-1 =limxto1(x^2+x+1)=3
limxto4x-4x^2-16 =limxto4x-4(x-4)(x+4) =limxto41x+4=18

Passo 4

Racionalização de indeterminações com raizx:
limxto9raizx-3x-9 =limxto9raizx-3x-9cdotraizx+3raizx+3 =limxto9x-9(x-9)(raizx+3) =16
limxto4raizx-2x-4 =1raizx+2|x=4=14

Passo 5

Racionalização de indeterminações com raiz-x:
limxto-4x+4raiz-x-2 =limxto-4x+4raiz-x-2cdotraiz-x+2raiz-x+2 =-l(raiz-x+2r)|x=-4=-4
limxto-1x+1raiz-x-1 =-l(raiz-x+1r)|x=-1=-2

Passo 6

Limite com raiz externa:
limxto9raizx-9raizx-3 =raizlimxto9x-9raizx-3 =raiz6

Passo 7

Limite envolvendo raiz cúbica dentro de raiz quadrada: seja u=(x+1)^1/3. Então
raiz[3]x+1-1x =u-1u^3-1 =u-1(u-1)(u^2+u+1) =1u^2+u+1xrightarrow[xto0] 13
Logo
limxto0raizraiz[3]x+1-1x =raiz13=1raiz3

Resposta

limxto1(3x^2 -25x) = -22
limxto12x-1x^3+3x-1 = tfrac13
limxto9raizx-3x-9 = tfrac16
limxto-1(x^5-4x^4+3x+7) = -1
limxto0x^99-1x^7+3x+1 = -1
limxto-4x+4raiz-x-2 = -4
limxto2(x^3-8) = 0
limxto4x-4x^2-16 = tfrac18
limxto-1x+1raiz-x-1 = -2
limxto1(x^2+x)(2x-3) = -2
limxto4raizx-2x-4 = tfrac14
limxto9raizx-9raizx-3 = raiz6
limxto3(3x^2-25)(x^2-8) = 2
limxto1x^3-1x-1 = 3
limxto0raizraiz[3]x+1-1x = 1raiz3

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