Para o caso da transferência de calor associada com a colocação de aletas retangulares de alumínio (k = 200
(\mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) em uma placa plana (temperatura de 120{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 1 m de largura.
As aletas têm 50 mm de altura (comprimento) e 0,5 \mathrm{~mm} de espessura, e a densidade de colocação é 250 aletas por unidade de comprimento da placa (as aletas são igualmente espaçadas e ocupam toda a largura da placa).
O coeficiente de película do ar (temperatura do ar 20^{\circ} \mathrm{C} ) sobre as aletas é 40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}, enquanto o coeficiente de película resultante da colocação das aletas sobre a placa sem aletas é 30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}.
Responda ao que se pede: Perguntas
a) Ache o valor do perímetro, área de condução e área de superfície de convecção de uma aleta.
b) Ache o valor da área ocupada por todas as aletas na convecção de uma aleta.
c) Ache o valor de ( \mathrm{d}^{2} \mathrm{~T} / \mathrm{dx}^{2}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{~T}=0 ) que aparece na EDO da distribuição de temperatura ao longo da aleta.
d) Ache o valor da temperatura na extremidade da aleta em contato com o ar para uma aleta isolada na extremidade e uma aleta com fuga na extremidade.
e) Ache o calor dissipado pela superfície primária sem aletas e com aletas.
f) Ache o calor dissipado por uma aleta isolada na extremidade.
g) Ache a eficiência de uma aleta isolada na extremidade.
h) Ache o calor dissipado pelo sistema se a aleta for considerada isolada na extremidade.
i) Ache a eficiência do sistema aletado se a aleta for considerada isolada na extremidade.
i) Qual o aumento (%) de dissipação de calor com a colocação das 250 aletas?

Passo 1

O que o enunciado dá (valores e condições):
  • Condutividade térmica do alumínio: k=200\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperatura da placa (base das aletas): T_{b}=120^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar: T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Altura (comprimento) da aleta: L=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da aleta: t=0{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0005\\ \mathrm{m}.
  • Densidade de aletas ao longo da largura: N' = 250\\ \mathrm{m^{-1}} (ou seja, 250 aletas por metro de largura).
  • Largura da placa (no sentido longitudinal das aletas): w=1\\ \mathrm{m} (a aleta se estende por 1\\ \mathrm{m} nessa direção).
  • Número total de aletas na placa: N = N' \cdot w = 250.
  • Coeficiente de película sobre as aletas: h=40\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Coeficiente de película da placa sem aletas (superfície primária): h_{0}=30\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Diferença de temperatura de referência: \theta_{b}=T_{b}-T_{\infty}=100\\ \mathrm{K}.
O que o enunciado pede (itens a–i):
a) Perímetro P, área de condução A_{c} e área de superfície de convecção A_{s} de uma aleta.
b) Área ocupada por todas as aletas (na convecção) — isto é, área total de convecção das 250 aletas.
c) Valor do termo m^{2} que aparece na EDO \dfrac{d^{2}T}{dx^{2}}-m^{2}T=0.
d) Temperatura na extremidade da aleta (em contato com o ar) para aleta com extremidade isolada e para aleta com fuga (convectiva) na extremidade.
e) Calor dissipado pela superfície primária sem aletas e pela superfície primária quando as aletas são colocadas.
f) Calor dissipado por uma aleta isolada na extremidade.
g) Eficiência de uma aleta isolada na extremidade.
h) Calor dissipado pelo sistema (placa + todas as aletas) se as aletas forem consideradas isoladas na extremidade.
i) Eficiência do sistema aletado (considerando aletas isoladas na extremidade).
j) Aumento percentual de dissipação de calor com a colocação das 250 aletas.

Passo 2

Primeiras decisões e geometricidade (explicação didática, sem pular etapas):
  • Cada aleta é uma lâmina retangular de espessura t, altura L e comprimento (no sentido perpendicular ao plano de corte) igual à largura da placa w=1\\ \mathrm{m}. Essa é a interpretação usual: aletas dispostas ao longo da largura de 1\\ \mathrm{m}.
  • Para fins de EDO e fórmulas de aleta de seção constante usamos a seção transversal perpendicular ao eixo x (eixo ao longo da altura L). Nessa seção transversal:
    • Área de condução (área pela qual o calor viaja ao longo da aleta): A_{c}=t\cdot w.
    • Perímetro molhado (perímetro pela qual ocorre convecção): P=2(w+t) (conta os dois lados do retângulo e as duas arestas finas; para aletas finas t\ll w esse P fica próximo de 2w, mas usaremos o valor exato).
    • Área de superfície de convecção de uma aleta (duas faces laterais e a ponta): A_{s}=2(L\cdot w)+ (t\cdot w) (as duas faces laterais têm área L\cdot w cada; a ponta tem área t\cdot w).
Agora calculamos numericamente esses itens (passo a passo, com contas simples que você pode reproduzir na prova).

Passo 3

Cálculos geométricos (item a):
  • Área de condução de uma aleta:
A_{c}=t\cdot w=0{,}0005\cdot 1=0{,}0005\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado:
P=2(w+t)=2(1+0{,}0005)=2{,}001\\ \mathrm{m}.
(obs.: se t fosse desprezível, P\approx 2w=2\\ \mathrm{m}. Aqui usamos o valor exato.)
  • Área de superfície externa de convecção de uma aleta:
A_{s}=2(L\cdot w)+t\cdot w=2(0{,}05\cdot 1)+0{,}0005\cdot 1=0{,}1005\\ \mathrm{m^{2}}.
Assim, para o item (a) temos: P=2{,}001\\ \mathrm{m}, A_{c}=0{,}0005\\ \mathrm{m^{2}} e A_{s}=0{,}1005\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Área total ocupada por todas as aletas na convecção (item b):
  • Área de convecção total de todas as \;N=250\; aletas:
A_{s,\text{total}}=N\cdot A_{s}=250\cdot 0{,}1005=25{,}125\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Para referência, área da base da placa ocupada pelas bases das aletas (área de contato aleta-placa):
A_{\text{base,ocupada}} = N\cdot (t\cdot w)=250\cdot 0{,}0005=0{,}125\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área da placa exposta entre as aletas (superfície primária restante):
A_{\text{primária,exp}} = w\cdot 1 - A_{\text{base,ocupada}} = 1 - 0{,}125 = 0{,}875\\ \mathrm{m^{2}},á
onde aqui usamos como referência uma faixa de 1\\ \mathrm{m} (a largura da placa) ao longo da profundidade considerada.

Passo 5

Cálculo do parâmetro m^{2} da EDO (item c) — teoria e aplicação:
  • A EDO linear que aparece para uma aleta de seção constante (diferença de temperatura \theta(x)=T(x)-T_{\infty}) leva à forma
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0,
onde o parâmetro
m^{2}=\frac{hP}{kA_{c}}.
  • Substituímos os valores:
m^{2}=\frac{40\cdot 2{,}001}{200\cdot 0{,}0005}=\frac{80{,}04}{0{,}1}=800{,}4\\ \mathrm{m^{-2}}.
  • Então
m=\sqrt{800{,}4}\approx 28{,}286\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • O produto adimensional mL (muito usado) é
mL=28{,}286\cdot 0{,}05\approx 1{,}4143.

Passo 6

Solução da EDO e temperaturas na extremidade (item d) — aula rápida:
  • Definimos \theta(x)=T(x)-T_{\infty} e \theta_{b}=\theta(0)=T_{b}-T_{\infty}=100\\ \mathrm{K}.
  • Solução geral da EDO para seção constante é combinação de cosseno hiperbólico e seno hiperbólico; aplicando condições de contorno obtemos fórmulas usuais.
  1. Aleta com extremidade isolada (adiabática) — condição d\theta/dx|_{x=L}=0. A solução normalizada é
\frac{\theta(x)}{\theta_{b}}=\frac{\operatorname{cosh}\bigl(m(L-x)\bigr)}{\operatorname{cosh}(mL)}.
Logo, na ponta x=L:
\frac{\theta(L)}{\theta_{b}}=\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)}.
Numericamente:
\operatorname{cosh}(mL)\approx \operatorname{cosh}(1{,}4143)\approx 2{,}17815,
\theta(L)=\frac{100}{2{,}17815}\approx 45{,}91\\ \mathrm{K},
T(L)=T_{\infty}+\theta(L)=20+45{,}91\approx 65{,}91^\circ\mathrm{C}.
  1. Aleta com extremidade convectiva (fuga) — condição -k A_{c}\, \dfrac{d\theta}{dx}\Big|_{x=L}=h\,(\,A_{\text{tip}}\,)\,\theta(L). A forma normalizada da solução é
\frac{\theta(x)}{\theta_{b}}=\frac{\operatorname{cosh}\bigl(m(L-x)\bigr)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}\bigl(m(L-x)\bigr)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Na ponta x=L:
\frac{\theta(L)}{\theta_{b}}=\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Calculemos o fator M=\dfrac{h}{mk}:
M=\frac{40}{28{,}286\cdot 200}\approx 0{,}0070711.
Agora
\operatorname{cosh}(mL)\approx 2{,}17815,\qquad \operatorname{sinh}(mL)\approx 1{,}93515,
\operatorname{cosh}(mL)+M\operatorname{sinh}(mL)\approx 2{,}17815+0{,}0070711\cdot 1{,}93515\approx 2{,}191827.
Assim
\theta(L)=\frac{100}{2{,}191827}\approx 45{,}61\\ \mathrm{K},
T(L)=20+45{,}61\approx 65{,}61^\circ\mathrm{C}.
Observação: as duas temperaturas de ponta são muito próximas porque a aleta é relativamente “eficiente” nesse regime (valor de mL moderado).

Passo 7

Calor dissipado por uma aleta isolada na extremidade (item f) — fórmula e cálculo:
  • Fórmula padrão para aleta de seção constante com extremidade isolada:
Q_{f,\text{adiab}}=\sqrt{hPkA_{c}}\;\theta_{b}\,\operatorname{tanh}(mL).
  • Primeiro calculamos a raiz:
\sqrt{hPkA_{c}}=\sqrt{(40)(2{,}001)(200)(0{,}0005)}=\sqrt{8{,}004}\approx 2{,}8296\\ \mathrm{W/K}.
  • Calculamos \operatorname{tanh}(mL):
\operatorname{tanh}(1{,}4143)\approx \frac{\operatorname{sinh}}{\operatorname{cosh}}\approx\frac{1{,}93515}{2{,}17815}\approx 0{,}8885.
  • Logo
Q_{f,\text{adiab}}=2{,}8296\cdot 100\cdot 0{,}8885\approx 251{,}38\\ \mathrm{W}.
Para comparação, calor para aleta com extremidade convectiva (não pedido explicitamente em (f) mas útil):
Q_{f,\text{conv}}=\sqrt{hPkA_{c}}\;\theta_{b}\;\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}\approx 251{,}8\\ \mathrm{W},
praticamente idêntico ao caso adiabático neste problema.

Passo 8

Eficiência da aleta isolada na extremidade (item g) — teoria e cálculo:
  • Eficiência de uma aleta é a razão entre o calor real transferido pela aleta e o calor que iria se toda a área de convecção da aleta estivesse à temperatura da base (ou seja, hA_{s}\theta_{b}):
\eta_{f}=\frac{Q_{f}}{h A_{s}\theta_{b}}.
  • Substituindo os valores (usando Q_{f,\text{adiab}}):
h A_{s}\theta_{b}=40\cdot 0{,}1005\cdot 100=402{,}0\\ \mathrm{W}.
\eta_{f}=\frac{251{,}38}{402{,}0}\approx 0{,}6256\quad(\text{ou }62{,}56\%).

Passo 9

Calor dissipado pela superfície primária sem aletas e com aletas (item e):
  • Sem aletas (placa lisa), assumindo a mesma área de referência 1\\ \mathrm{m^{2}} (lado considerado):
Q_{\text{sem}}=h_{0}\,A_{\text{placa}}\theta_{b}=30\cdot 1\cdot 100=3{,}000\\ \mathrm{W}.
  • Com aletas: a área exposta da placa entre aletas é A_{\text{primária,exp}}=0{,}875\\ \mathrm{m^{2}}á (calculada no Passo 4). Essa área convecta com h_{0}=30:
Q_{\text{prim,com}}=h_{0}\,A_{\text{primária,exp}}\theta_{b}=30\cdot 0{,}875\cdot 100=2{,}625\\ \mathrm{W}.á
(Observação didática: parte da dissipação passa agora pelas aletas; por isso a placa perde parte da sua área efetiva de convecção.)

Passo 10

Calor total do sistema com aletas isoladas na extremidade (item h):
  • Calor total é soma do calor dissipado pela superfície primária exposta mais o calor dissipado por todas as aletas:
Q_{\text{total}}=Q_{\text{prim,com}} + N\cdot Q_{f,\text{adiab}}.
  • Substituindo:
Q_{\text{total}}=2{,}625 + 250\cdot 251{,}38 \approx 2{,}625 + 62{,}845\approx 65{,}470\\ \mathrm{W}.
(arredondamento leve: 65{,}468 65{,}470\\ \mathrm{W}, mantemos 65{,}470\\ \mathrm{W} com 3 dígitos significativos.)

Passo 11

Eficiência do sistema aletado (item i) — definição padrão e cálculo:
  • A definição usual de eficiência do conjunto aletado (quando se tem superfícies com e sem aletas) é a média ponderada entre a eficiência das aletas e a eficiência da superfície primária (esta última é 1 porque se a superfície primária é considerada plana e na temperatura da base local, o conceito simplifica). A fórmula usual é
\eta_{\text{sistema}}=\frac{N\eta_{f}A_{s}+A_{\text{primária,exp}}}{N A_{s}+A_{\text{primária,exp}}}.áá
(Isto corresponde à eficiência média da superfície total efetiva.)
  • Substituindo os valores:
N A_{s}=250\cdot 0{,}1005=25{,}125\\ \mathrm{m^{2}},
N\eta_{f}A_{s}=250\cdot 0{,}6256\cdot 0{,}1005\approx 15{,}7125\\ \mathrm{m^{2}\;efetivos}.
\eta_{\text{sistema}}=\frac{15{,}7125+0{,}875}{25{,}125+0{,}875}=\frac{16{,}5875}{26{,}0}\approx 0{,}6380.
Logo, eficiência do sistema \approx 63{,}80\%.

Passo 12

Aumento percentual de dissipação com as 250 aletas (último item j):
  • Aumento percentual comparando Q_{\text{total}} (com aletas) com Q_{\text{sem}} (placa lisa):
\%\\ \text{aumento}=\frac{Q_{\text{total}}-Q_{\text{sem}}}{Q_{\text{sem}}}\times 100\%.
  • Substituindo números:
\%\\ \text{aumento}=\frac{65{,}470-3{,}000}{3{,}000}\times 100\%\approx \frac{62{,}470}{3{,}000}\times 100\%\approx 2{,}082{,}3\%.
Ou seja, um aumento muito grande (devido à grande área adicional de convecção provida pelas aletas de 1\\ \mathrm{m} de comprimento).

Resposta

(a) P=2{,}001\\ \mathrm{m},\;A_{c}=0{,}0005\\ \mathrm{m^{2}},\;A_{s}=0{,}1005\\ \mathrm{m^{2}}.
(b) A_{s,\text{total}}=25{,}125\\ \mathrm{m^{2}} (área de convecção de todas as 250 aletas).
(c) m^{2}=800{,}4\\ \mathrm{m^{-2}},\;m\approx 28{,}286\\ \mathrm{m^{-1}},\;mL\approx 1{,}4143.
(d) Temperatura na ponta: aleta isolada T(L)\approx 65{,}91^\circ\mathrm{C}; aleta com extremidade convectiva T(L)\approx 65{,}61^\circ\mathrm{C}.
(e) Q_{\text{sem}}=3{,}000\\ \mathrm{W} (placa sem aletas); Q_{\text{prim,com}}=2{,}625\\ \mathrm{W} (superfície primária com aletas).
(f) Q_{f,\text{adiab}}\approx 251{,}38\\ \mathrm{W} (calor dissipado por uma aleta isolada na extremidade).
(g) \eta_{f}\approx 0{,}6256 (ou 62{,}56\%).
(h) Q_{\text{total}}\\ (\text{com 250 aletas, extremidade isolada})\approx 65{,}470\\ \mathrm{W}.
(i) \eta_{\text{sistema}}\approx 0{,}6380 (ou 63{,}80\%).
(j) Aumento percentual da dissipação: \approx 2{,}082{,}3\%.

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