Dados n pares de números \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right), com n \geq 3, em geral não existirá uma função afim
f(x)=\alpha x+\beta
cujo gráfico passe por todos os n pontos. Entretanto, podemos determinar f de modo que a soma dos quadrados dos erros f\left(x_{i}\right)-y_{i}, que é dada por \sum_{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right]^{2},
seja mínima.
Considere a função
E(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right]^{2}
Usando derivadas parciais e as propriedades do somatório, mostre que os valores \alpha e \beta que minimizam a função E são
\alpha=\frac{\sum x_{i} \sum y_{i}-n \sum x_{i} y_{i}}{\left(\sum x_{i}\right)^{2}-n\left(\sum x_{i}^{2}\right)} \text { e } \beta=\frac{\sum x_{i} y_{i} \sum x_{i}-\sum y_{i} \sum x_{i}^{2}}{\left(\sum x_{i}\right)^{2}-n\left(\sum x_{i}^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado fornece n pares de pontos \left(x_{1},y_{1}\right),\ldots,\left(x_{n},y_{n}\right) com n\ge 3 e define uma função afim
f(x)=\alpha x+\beta.
Define-se o erro quadrático total
E(\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^{n}\left[f(x_{i})-y_{i}\right]^{2}.
O que o enunciado pede: encontrar os valores de \alpha e \beta que minimizam E(\alpha,\beta).
Informações relevantes dadas: os pares \left(x_{i},y_{i}\right) e a fórmula de E(\alpha,\beta).
O objetivo é determinar explicitamente \alpha e \beta em termos das somas \sum x_{i}, \sum y_{i}, \sum x_{i}^{2} e \sum x_{i}y_{i}.

Passo 2

Primeiro substituímos f(x_i)=\alpha x_i+\beta dentro de E para escrever E de forma explícita em \alpha e \beta. Definimos o resíduo
r_i=\alpha x_i+\beta-y_i.
Então
E(\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^{n}r_i^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(\alpha x_i+\beta-y_i\right)^{2}.
Nota rápida sobre somatórios usada abaixo: a derivada (parcial) de uma soma é a soma das derivadas e fatores constantes saem de somatório (linearidade). Também usaremos que \sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)=\sum a_i+\sum b_i e \sum c\,a_i=c\sum a_i para constante c.

Passo 3

Para achar o mínimo de E em termos de \alpha e \beta usamos derivadas parciais e igualamos a zero (condição de ponto crítico). Calculamos \partial E/\partial \alpha e \partial E/\partial \beta. Usando regra da cadeia e linearidade do somatório:
\frac{\partial E}{\partial \alpha}= \sum_{i=1}^{n} 2(\alpha x_i+\beta-y_i)\cdot x_i = 2\sum_{i=1}^{n} x_i(\alpha x_i+\beta-y_i).
\frac{\partial E}{\partial \beta}= \sum_{i=1}^{n} 2(\alpha x_i+\beta-y_i)\cdot 1 = 2\sum_{i=1}^{n} (\alpha x_i+\beta-y_i).
Igualando a zero (dividir por 2 é seguro e simplifica), obtemos as equações normais:
\sum_{i=1}^{n} x_i(\alpha x_i+\beta-y_i)=0,
\sum_{i=1}^{n} (\alpha x_i+\beta-y_i)=0.

Passo 4

Expandimos cada somatório e usamos linearidade para agrupar termos com \alpha e \beta. Para a primeira equação:
\alpha\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}+\beta\sum_{i=1}^{n} x_i-\sum_{i=1}^{n} x_i y_i=0.
Para a segunda:
\alpha\sum_{i=1}^{n} x_i + n\beta - \sum_{i=1}^{n} y_i =0.
Então o sistema linear em \alpha,\beta é
\alpha\sum x_i^{2} + \beta\sum x_i = \sum x_i y_i,
\alpha\sum x_i + n\beta = \sum y_i.
(Aqui e adiante uso a notação \sum x_i para \sum_{i=1}^{n} x_i, etc., para deixar as fórmulas mais limpas.)

Passo 5

Agora resolvemos esse sistema. Da segunda equação isolamos \beta:
\beta=\frac{\sum y_i - \alpha\sum x_i}{n}.
Substituímos essa expressão na primeira equação:
\alpha\sum x_i^{2} + \left(\frac{\sum y_i - \alpha\sum x_i}{n}\right)\sum x_i = \sum x_i y_i.
Multiplicando ambos os lados por n para eliminar o denominador:
n\alpha\sum x_i^{2} + \sum x_i\sum y_i - \alpha(\sum x_i)^{2} = n\sum x_i y_i.
Agrupando os termos que contêm \alpha:
\alpha\left(n\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^{2}\right) + \sum x_i\sum y_i - n\sum x_i y_i = 0.
Isolando \alpha:
\alpha\left(n\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^{2}\right) = n\sum x_i y_i - \sum x_i\sum y_i.
Multiplicando ambos os lados por -1 para obter a forma desejada no numerador e denominador, obtemos
\alpha=\frac{\sum x_i\sum y_i - n\sum x_i y_i}{(\sum x_i)^{2} - n\sum x_i^{2}}.
Esse é exatamente o resultado pedido para \alpha.

Passo 6

Agora determinamos \beta. Podemos usar \beta=(\sum y_i - \alpha\sum x_i)/n. Substituímos a expressão encontrada para \alpha:
\beta=\frac{1}{n}\left(\sum y_i - \frac{\sum x_i\sum y_i - n\sum x_i y_i}{(\sum x_i)^{2} - n\sum x_i^{2}}\cdot\sum x_i\right).
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (\sum x_i)^{2} - n\sum x_i^{2} e simplificando o numerador passo a passo:
\beta=\frac{1}{n}\cdot\frac{\left(\sum y_i\right)\big((\sum x_i)^{2}-n\sum x_i^{2}\big)-\sum x_i\big(\sum x_i\sum y_i - n\sum x_i y_i\big)}{(\sum x_i)^{2}-n\sum x_i^{2}}.
Expandindo o numerador:
\big(\sum y_i\big)(\sum x_i)^{2}-n\big(\sum y_i\big)\sum x_i^{2}-\sum x_i\sum x_i\sum y_i + n\sum x_i\sum x_i y_i.
Observe que \big(\sum y_i\big)(\sum x_i)^{2}-\sum x_i\sum x_i\sum y_i=0 (os dois primeiros termos se cancelam), restando
-n\big(\sum y_i\big)\sum x_i^{2}+ n\sum x_i\sum x_i y_i = n\left(\sum x_i\sum x_i y_i - \sum y_i\sum x_i^{2}\right).
Dividindo por n (lembrando do fator 1/n inicial) e pelo denominador comum, obtemos
\beta=\frac{\sum x_i\sum x_i y_i - \sum y_i\sum x_i^{2}}{(\sum x_i)^{2} - n\sum x_i^{2}}.
Reordenando o numerador para coincidir com a forma pedida:
\beta=\frac{\sum x_i y_i\sum x_i - \sum y_i\sum x_i^{2}}{(\sum x_i)^{2} - n\sum x_i^{2}}.

Passo 7

Feito isso, vale checar que o ponto crítico realmente é mínimo. Calculamos as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}E}{\partial \alpha^{2}} = 2\sum x_i^{2},\quad \frac{\partial^{2}E}{\partial \beta^{2}} = 2n,\quad \frac{\partial^{2}E}{\partial \alpha\partial \beta} = 2\sum x_i.
A matriz Hessiana é
H=2\begin{pmatrix}\sum x_i^{2} & \sum x_i \\[4pt] \sum x_i & n\end{pmatrix}.
Para um mínimo estrito precisamos que H seja definida positiva, o que ocorre quando seu determinante é positivo:
\det H = 4\left(n\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^{2}\right).
Sob a hipótese implícita de que os x_i não são todos iguais (caso todos x_i iguais a mesma constante o problema degeneraria e o denominador abaixo seria zero), temos \det H>0 e, portanto, o ponto crítico é mínimo. O denominador que apareceu nas fórmulas,
(\sum x_i)^{2}-n\sum x_i^{2},
é precisamente (com sinal trocado) o determinante da matriz dos coeficientes do sistema normal; a formulação do enunciado assume o caso não degenerado em que esse denominador é diferente de zero.]

Resposta

\displaystyle \alpha=\frac{\sum x_{i}\sum y_{i}-n\sum x_{i}y_{i}}{(\sum x_{i})^{2}-n\sum x_{i}^{2}}\n \displaystyle \beta=\frac{\sum x_{i}y_{i}\sum x_{i}-\sum y_{i}\sum x_{i}^{2}}{(\sum x_{i})^{2}-n\sum x_{i}^{2}}

Exercícios relacionados