Dados
pares de números
, com
, em geral não existirá uma função afim
cujo gráfico passe por todos os
pontos. Entretanto, podemos determinar
de modo que a soma dos quadrados dos erros
, que é dada por
,
seja mínima.
Considere a função
Usando derivadas parciais e as propriedades do somatório, mostre que os valores
e
que minimizam a função
são
seja mínima.
Considere a função
Passo 1
O enunciado fornece
pares de pontos
com
e define uma função afim
Define-se o erro quadrático total
O que o enunciado pede: encontrar os valores de
e
que minimizam
.
Informações relevantes dadas: os pares e a fórmula de
.
O objetivo é determinar explicitamente e
em termos das somas
,
,
e
.
Informações relevantes dadas: os pares
O objetivo é determinar explicitamente
Passo 2
Primeiro substituímos
dentro de
para escrever
de forma explícita em
e
. Definimos o resíduo
Então
Nota rápida sobre somatórios usada abaixo: a derivada (parcial) de uma soma é a soma das derivadas e fatores constantes saem de somatório (linearidade). Também usaremos que
e
para constante
.
Passo 3
Para achar o mínimo de
em termos de
e
usamos derivadas parciais e igualamos a zero (condição de ponto crítico). Calculamos
e
. Usando regra da cadeia e linearidade do somatório:
Igualando a zero (dividir por
é seguro e simplifica), obtemos as equações normais:
Passo 4
Expandimos cada somatório e usamos linearidade para agrupar termos com
e
. Para a primeira equação:
Para a segunda:
Então o sistema linear em
é
(Aqui e adiante uso a notação
para
, etc., para deixar as fórmulas mais limpas.)
Passo 5
Agora resolvemos esse sistema. Da segunda equação isolamos
:
Substituímos essa expressão na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agrupando os termos que contêm
:
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
para obter a forma desejada no numerador e denominador, obtemos
Esse é exatamente o resultado pedido para
.
Passo 6
Agora determinamos
. Podemos usar
. Substituímos a expressão encontrada para
:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
e simplificando o numerador passo a passo:
Expandindo o numerador:
Observe que
(os dois primeiros termos se cancelam), restando
Dividindo por
(lembrando do fator
inicial) e pelo denominador comum, obtemos
Reordenando o numerador para coincidir com a forma pedida:
Passo 7
Feito isso, vale checar que o ponto crítico realmente é mínimo. Calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é
Para um mínimo estrito precisamos que
seja definida positiva, o que ocorre quando seu determinante é positivo:
Sob a hipótese implícita de que os
não são todos iguais (caso todos
iguais a mesma constante o problema degeneraria e o denominador abaixo seria zero), temos
e, portanto, o ponto crítico é mínimo. O denominador que apareceu nas fórmulas,
é precisamente (com sinal trocado) o determinante da matriz dos coeficientes do sistema normal; a formulação do enunciado assume o caso não degenerado em que esse denominador é diferente de zero.]