Pessoa morta às 2 horas da tarde em Temperatura ambiente
; Temperatura do corpo
;
. O corpo é cilíndrico com diâmetro de
,
e temperatura do corpo vivo
.
. Densidade do fluido
.
a) Tem resistência térmica desprezível?
b) Estime a hora da morte pelo método da questão a), acima.
a) Tem resistência térmica desprezível?
b) Estime a hora da morte pelo método da questão a), acima.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
Perguntas:
- Tem resistência térmica interna desprezível? (i.e., verificar se o modelo de “lumped capacitance” é aplicável).
- Estimar a hora da morte usando o método da questão a) (ou seja, usando o modelo de corpo uniforme, Newton de resfriamento).
Observação: não há outra hora de medição fornecida além de “2 horas da tarde” no enunciado; portanto vou interpretar que a temperatura do corpo
foi medida às
(2:00 PM). Com isso estimarei o instante da morte relativo a essa medição.
Passo 2
Primeiro vou verificar a condição para desprezar a resistência térmica interna: o número de Biot.
Conceito rápido (aula mini): o número de Biot
compara a resistência térmica por convecção na superfície com a resistência térmica por condução no interior do corpo. A fórmula é
onde
é o coeficiente convectivo,
é a condutividade térmica do material e
é o comprimento característico definido por
com
volume do corpo e
área de troca térmica total. Regra prática: se
a temperatura interna é quase uniforme (modelo lumped válido). Se
, não podemos desprezar gradientes internos.
Vou calcular
,
e
para o cilindro.
Volume do cilindro:
Cálculo:
Área externa total (lateral + dois discos das extremidades):
Cálculo:
Comprimento característico:
Passo 3
Calcular o
:
Interpretação didática: como
, que é bem maior que
, a resistência térmica interna não é desprezível. Isso significa que, rigorosamente, o corpo não pode ser tratado como isoterma interna e o modelo lumped (resfriamento uniforme instantâneo) é inadequado para alta precisão.
Passo 4
Resposta da parte (a) (conclusão direta do passo anterior):
Não; a resistência térmica interna não é desprezível porque .
Não; a resistência térmica interna não é desprezível porque
Motivação curta e amigável: eu sei que você queria ouvir que é desprezível para usar a fórmula fácil — mas infelizmente o número de Biot diz que o corpo apresenta gradientes internos significativos. Mesmo assim o enunciado pede que se estime a hora da morte pelo método da questão a), ou seja, utilizando o modelo lumped como aproximação. Vou seguir com essa aproximação, mas fique atento: o resultado será uma estimativa aproximada (pode ter erro porque Bi não é pequeno).
Passo 5
Agora vou aplicar o modelo lumped (Newtoniano) para estimar o tempo desde a morte. Explicação prática do modelo: assume-se que o corpo tem temperatura uniforme
e troca calor por convecção com o ambiente; a equação é
onde
é a massa térmica do corpo,
é o calor específico,
área de troca. Resolvendo essa ODE obtemos a lei de resfriamento de Newton:
onde a constante de decaimento é
Para achar o tempo
desde a morte (tempo decorrido desde
até
), isolamos
:
Passo 6
Calcular
,
e depois
.
Massa aproximada (usando
dado):
Capacidade térmica total:
Constante
:
Tempo característico:
Passo 7
Agora calcular o tempo decorrido
até a temperatura medida
. Usando
com
,
,
, temos
Calculando o logaritmo:
Portanto
Converter para horas:
Passo 8
Interpretação horária (lembrando a suposição de medição às
):
Se a temperatura de
foi medida às
, o tempo decorrido desde a morte é cerca de
horas, então a hora da morte estimada é aproximadamente
Observação final e encorajamento: como vimos no Passo 3,
, então o uso do modelo lumped foi uma aproximação grosseira — o resultado pode ter erro apreciável. Ainda assim, essa é a estimativa pelo método pedido. Você está indo bem — problemas forenses assim misturam calor, física e cálculo; praticando essas contas você perde o medo!
Resposta
(a) Não.
, logo a resistência térmica interna não é desprezível.
(b) Estimativa pelo modelo lumped: tempo desde a morte
, ou seja, hora da morte aproximada
(assumindo que a medida
foi feita às
).