Pessoa morta às 2 horas da tarde em Temperatura ambiente =20^{\circ} \mathrm{C}; Temperatura do corpo =25^{\circ} \mathrm{C}; \mathrm{h}= 8,5 \mathrm{~W} /{ }^{\circ} \mathrm{C}. O corpo é cilíndrico com diâmetro de 32{ }^{\circ} \mathrm{cm}, \mathrm{L}=1,74 \mathrm{~m} e temperatura do corpo vivo =37^{\circ} \mathrm{C}. \mathrm{K}=0,617 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Densidade do fluido =996 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} . \mathrm{C}= 4178 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}.
a) Tem resistência térmica desprezível?
b) Estime a hora da morte pelo método da questão a), acima.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
\begin{aligned} &\text{Temperatura ambiente: }T_\infty=20^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Temperatura do corpo medida: }T(t)=25^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Temperatura do corpo vivo (inicial): }T_0=37^\circ\mathrm{C}\\\ &h=8{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}\\\ &\text{corpo cilíndrico: diâmetro }d=32\\ \mathrm{cm}=0{,}32\\ \mathrm{m},\quad L=1{,}74\\ \mathrm{m}\\\ &k=0{,}617\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}\\\ &\rho=996\\ \mathrm{kg/m^3},\quad c=4178\\ \mathrm{J/(kg\cdot ^\circ C)} \end{aligned}íâ
Perguntas:
  1. Tem resistência térmica interna desprezível? (i.e., verificar se o modelo de “lumped capacitance” é aplicável).
  2. Estimar a hora da morte usando o método da questão a) (ou seja, usando o modelo de corpo uniforme, Newton de resfriamento).
Observação: não há outra hora de medição fornecida além de “2 horas da tarde” no enunciado; portanto vou interpretar que a temperatura do corpo 25^\circ\mathrm{C} foi medida às 14{:}00 (2:00 PM). Com isso estimarei o instante da morte relativo a essa medição.

Passo 2

Primeiro vou verificar a condição para desprezar a resistência térmica interna: o número de Biot.
Conceito rápido (aula mini): o número de Biot \mathrm{Bi} compara a resistência térmica por convecção na superfície com a resistência térmica por condução no interior do corpo. A fórmula é
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde h é o coeficiente convectivo, k é a condutividade térmica do material e L_c é o comprimento característico definido por
L_c=\frac{V}{A},
com V volume do corpo e A área de troca térmica total. Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1 a temperatura interna é quase uniforme (modelo lumped válido). Se \mathrm{Bi}\gtrsim 0{,}1, não podemos desprezar gradientes internos.
Vou calcular V, A e L_c para o cilindro.
Volume do cilindro:
V=\pi r^2 L,\quad r=\frac{d}{2}=0{,}16\\ \mathrm{m}.
Cálculo:
V=\pi (0{,}16)^2(1{,}74)=\pi\cdot0{,}0256\cdot1{,}74\approx0{,}139865\\ \mathrm{m^3}.
Área externa total (lateral + dois discos das extremidades):
A=2\pi r L + 2\pi r^2.
Cálculo:
A=2\pi(0{,}16)(1{,}74)+2\pi(0{,}16)^2\approx1{,}909155\\ \mathrm{m^2}.
Comprimento característico:
L_c=\frac{V}{A}\approx\frac{0{,}139865}{1{,}909155}\approx0{,}07329\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular o \mathrm{Bi}:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{8{,}5\cdot0{,}07329}{0{,}617}\approx1{,}01.
Interpretação didática: como \mathrm{Bi}\approx1{,}01, que é bem maior que 0{,}1, a resistência térmica interna não é desprezível. Isso significa que, rigorosamente, o corpo não pode ser tratado como isoterma interna e o modelo lumped (resfriamento uniforme instantâneo) é inadequado para alta precisão.

Passo 4

Resposta da parte (a) (conclusão direta do passo anterior):
Não; a resistência térmica interna não é desprezível porque \mathrm{Bi}\approx1{,}01>0{,}1.
Motivação curta e amigável: eu sei que você queria ouvir que é desprezível para usar a fórmula fácil — mas infelizmente o número de Biot diz que o corpo apresenta gradientes internos significativos. Mesmo assim o enunciado pede que se estime a hora da morte pelo método da questão a), ou seja, utilizando o modelo lumped como aproximação. Vou seguir com essa aproximação, mas fique atento: o resultado será uma estimativa aproximada (pode ter erro porque Bi não é pequeno).

Passo 5

Agora vou aplicar o modelo lumped (Newtoniano) para estimar o tempo desde a morte. Explicação prática do modelo: assume-se que o corpo tem temperatura uniforme T(t) e troca calor por convecção com o ambiente; a equação é
m c\frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T-T_\infty\bigr),
onde m=\rho V é a massa térmica do corpo, c é o calor específico, A área de troca. Resolvendo essa ODE obtemos a lei de resfriamento de Newton:
T(t)=T_\infty + \bigl(T_0-T_\infty\bigr)e^{-k t},
onde a constante de decaimento é
k=\frac{h A}{m c}=\frac{h A}{\rho V c}.
Para achar o tempo t desde a morte (tempo decorrido desde T_0 até T(t)), isolamos t:
t=-\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}\right).

Passo 6

Calcular m, k e depois t.
Massa aproximada (usando \rho dado):
m=\rho V=996\cdot0{,}139865\approx139{,}306\\ \mathrm{kg}.
Capacidade térmica total:
m c\approx139{,}306\cdot4178\approx5{,}82018\times10^{5}\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Constante k:
hA=8{,}5\cdot1{,}909155\approx16{,}2278\\ \mathrm{W/^\circ C},
k=\frac{hA}{mc}\approx\frac{16{,}2278}{5{,}82018\times10^{5}}\approx2{,}788\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Tempo característico:
\tau=\frac{1}{k}\approx3{,}5862\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx9{,}963\\ \mathrm{h}.

Passo 7

Agora calcular o tempo decorrido t até a temperatura medida T(t)=25^\circ\mathrm{C}. Usando
t=-\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}\right),
com T_0=37^\circ\mathrm{C}, T_\infty=20^\circ\mathrm{C}, T(t)=25^\circ\mathrm{C}, temos
\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}=\frac{25-20}{37-20}=\frac{5}{17}\approx0{,}2941176.
Calculando o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{5}{17}\right)\approx-1{,}22378.
Portanto
t=\frac{1{,}22378}{k}\approx1{,}22378\cdot3{,}5862\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx4{,}3888\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
Converter para horas:
t\approx4{,}3888\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx12{,}19\\ \mathrm{h}\approx12\\ \mathrm{h}\\\ 11{,}4\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Interpretação horária (lembrando a suposição de medição às 14{:}00):
Se a temperatura de 25^\circ\mathrm{C} foi medida às 14{:}00, o tempo decorrido desde a morte é cerca de 12{,}19 horas, então a hora da morte estimada é aproximadamente
14{:}00 - 12\\ \mathrm{h}\\\ 11{,}4\\ \mathrm{min}\approx01{:}48\text{--}01{:}49\\ (\text{da madrugada}).
Observação final e encorajamento: como vimos no Passo 3, \mathrm{Bi}\approx1{,}01, então o uso do modelo lumped foi uma aproximação grosseira — o resultado pode ter erro apreciável. Ainda assim, essa é a estimativa pelo método pedido. Você está indo bem — problemas forenses assim misturam calor, física e cálculo; praticando essas contas você perde o medo!

Resposta

(a) Não. \mathrm{Bi}\approx1{,}01>0{,}1, logo a resistência térmica interna não é desprezível.
(b) Estimativa pelo modelo lumped: tempo desde a morte \approx12{,}19\\ \mathrm{h}, ou seja, hora da morte aproximada \approx01{:}49 (assumindo que a medida 25^\circ\mathrm{C} foi feita às 14{:}00).

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