Para os casos de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) determine a solução de m \ddot{x}+b \dot{x}+k x=F(t) que satisfaz as condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0}, com as forças aplicadas abaixo:
F(t)=F_{0} \cos (\omega t+\theta)
onde F_{0}, t_{0}, \alpha e \omega são constantes positivas e \theta é uma constante. Discuta as soluções de cada caso.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução da equação de movimento
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=F(t)
com F(t)=F_{0}\cos(\omega t+\theta) e condições iniciais x(0)=x_{0}, \dot{x}(0)=v_{0}. Os dados relevantes são:
  • constantes: m>0, b\ge 0, k>0, F_{0}>0, \omega>0, \theta real;
  • condições iniciais: x(0)=x_{0}, \dot{x}(0)=v_{0}.
    O enunciado pede as soluções para os três casos de amortecimento: supercrítico (sobreamortecido), crítico e subcrítico (subamortecido). A resolução vai construir a solução geral como soma da solução homogênea (transiente) e de uma solução particular (forçada) e, em seguida, aplicar as condições iniciais em cada caso.

Passo 2

Preparação de notação e ideia geral. Introduzo parâmetros úteis:
\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m},\qquad \gamma=\frac{b}{2m}.
A equação pode ser escrita como
\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega t+\theta).
Estratégia: procurar a solução geral na forma
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t),
onde x_{h} é solução da homogênea \ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0 e x_{p} é uma solução particular forçada (solução estacionária). Depois usamos x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0} para determinar as constantes da solução homogênea.

Passo 3

Construção da solução particular x_{p}(t) por coeficientes indeterminados (ansatz real). Tento
x_{p}(t)=P\cos(\omega t+\theta)+Q\sin(\omega t+\theta),
com P,Q constantes a determinar. Calculando derivadas:
\dot{x}_{p}(t)=-P\omega\sin(\omega t+\theta)+Q\omega\cos(\omega t+\theta),
\ddot{x}_{p}(t)=-P\omega^{2}\cos(\omega t+\theta)-Q\omega^{2}\sin(\omega t+\theta).
Substituo na EDO e agrupo os coeficientes de \cos(\omega t+\theta) e \sin(\omega t+\theta). Isso dá o sistema linear
P(\,k-m\omega^{2}\,)+Q(b\omega)=F_{0},
-P(b\omega)+Q(\,k-m\omega^{2}\,)=0.
Defino D=k-m\omega^{2}. Resolvo o sistema (eliminação): da segunda equação Q=\dfrac{b\omega}{D}P (quando D\neq0; se D=0 é caso particular que a fórmula geral também cobre como limite). Substituindo na primeira:
P\left(D+\frac{b^{2}\omega^{2}}{D}\right)=F_{0}\quad\Rightarrow\quad P=\frac{F_{0}D}{D^{2}+b^{2}\omega^{2}}.
E então
Q=\frac{F_{0}b\omega}{D^{2}+b^{2}\omega^{2}}.
A amplitude e defasagem ficam mais elegantes se definirmos
X=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}=\frac{F_{0}}{\sqrt{D^{2}+b^{2}\omega^{2}}}
e a fase \varphi por
\varphi=\arctan\!\left(\frac{Q}{P}\right)=\arctan\!\left(\frac{b\omega}{D}\right),
onde atenção: se D<0 a \arctan deve ser ajustada por \pi para obter o quadrante correto. Assim a solução particular pode ser reescrita como
x_{p}(t)=X\cos(\omega t+\theta-\varphi),
com
X=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}}
ou, dividindo por m,
X=\frac{F_{0}/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2\gamma\omega)^{2}}},\qquad \varphi=\arctan\!\left(\frac{2\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right).
Também serão úteis os valores em t=0:
x_{p}(0)=X\cos(\theta-\varphi),\qquad \dot{x}_{p}(0)=-X\omega\sin(\theta-\varphi).

Passo 4

Solução homogênea x_{h}: característica
r^{2}+2\gamma r+\omega_{0}^{2}=0,
raízes
r=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}.
Três casos conforme o discriminante \gamma^{2}-\omega_{0}^{2}:
  • caso sobreamortecido (supercrítico): \gamma^{2}>\omega_{0}^{2} (duas raízes reais distintas);
  • caso crítico: \gamma^{2}=\omega_{0}^{2} (raiz real dupla);
  • caso subamortecido (subcrítico): \gamma^{2}<\omega_{0}^{2} (raízes complexas conjugadas).
Vou escrever x_{h} em cada caso e aplicar as condições iniciais usando os valores de x_{p}(0) e \dot{x}_{p}(0) já calculados.

Passo 5

Caso sobreamortecido ( \gamma^{2}>\omega_{0}^{2}). Defino
s=\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}},\qquad r_{1}=-\gamma+s,\quad r_{2}=-\gamma-s.
Então
x_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
Impondo condições iniciais x(0)=x_{0},\\ \dot{x}(0)=v_{0} e lembrando x(0)=x_{h}(0)+x_{p}(0) e \dot{x}(0)=\dot{x}_{h}(0)+\dot{x}_{p}(0), obtemos o sistema
C_{1}+C_{2}=x_{0}-x_{p}(0),
r_{1}C_{1}+r_{2}C_{2}=v_{0}-\dot{x}_{p}(0).
Resolvendo (com r_{1}\neq r_{2}):
C_{1}=\frac{\,v_{0}-\dot{x}_{p}(0)-r_{2}\bigl(x_{0}-x_{p}(0)\bigr)\,}{r_{1}-r_{2}},\qquad C_{2}=\frac{\,r_{1}\bigl(x_{0}-x_{p}(0)\bigr)-\bigl(v_{0}-\dot{x}_{p}(0)\bigr)\,}{r_{1}-r_{2}}.
Portanto a solução completa é
x(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}+X\cos(\omega t+\theta-\varphi),
com C_{1},C_{2} dados acima e X,\varphi do Passo 3.

Passo 6

Caso crítico ( \gamma^{2}=\omega_{0}^{2}). A raiz dupla é r=-\gamma. A solução homogênea é
x_{h}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-\gamma t}.
Condições iniciais: em t=0 C_{1}=x_{0}-x_{p}(0). A derivada
\dot{x}_{h}(t)=C_{2}e^{-\gamma t}-\gamma(C_{1}+C_{2}t)e^{-\gamma t},
em t=0 C_{2}-\gamma C_{1}=v_{0}-\dot{x}_{p}(0), assim
C_{2}=v_{0}-\dot{x}_{p}(0)+\gamma\bigl(x_{0}-x_{p}(0)\bigr).
Solução completa:
x(t)=\bigl(x_{0}-x_{p}(0)+\bigl(v_{0}-\dot{x}_{p}(0)+\gamma(x_{0}-x_{p}(0))\bigr)t\bigr)e^{-\gamma t}+X\cos(\omega t+\theta-\varphi).

Passo 7

Caso subamortecido ( \gamma^{2}<\omega_{0}^{2}). Defino
\omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}>0.
Solução homogênea
x_{h}(t)=e^{-\gamma t}\bigl(A\cos(\omega_{1}t)+B\sin(\omega_{1}t)\bigr).
Condições iniciais: em t=0 A=x_{0}-x_{p}(0). A derivada é
\dot{x}_{h}(t)=e^{-\gamma t}\bigl[-\gamma(A\cos\omega_{1}t+B\sin\omega_{1}t)+(-A\omega_{1}\sin\omega_{1}t+B\omega_{1}\cos\omega_{1}t)\bigr].
Em t=0 obtemos
-\gamma A + B\omega_{1}=v_{0}-\dot{x}_{p}(0),
portanto
B=\frac{v_{0}-\dot{x}_{p}(0)+\gamma A}{\omega_{1}}=\frac{v_{0}-\dot{x}_{p}(0)+\gamma\bigl(x_{0}-x_{p}(0)\bigr)}{\omega_{1}}.
Solução completa:
x(t)=e^{-\gamma t}\Bigl((x_{0}-x_{p}(0))\cos(\omega_{1}t)+\frac{v_{0}-\dot{x}_{p}(0)+\gamma(x_{0}-x_{p}(0))}{\omega_{1}}\sin(\omega_{1}t)\Bigr)+X\cos(\omega t+\theta-\varphi).

Passo 8

Discussão física e comportamentos de cada caso (intuitivo e útil para prova):
  • Estrutura geral: a solução é soma de transiente x_{h}(t) e regime forçado x_{p}(t). O termo x_{h} depende das condições iniciais e decai exponencialmente (porque as partes reais das raízes são negativas se b>0); o termo x_{p} é uma oscilação na frequência da força externa \omega com amplitude X e defasagem \varphi relativas a \cos(\omega t+\theta).
  • Caso sobreamortecido ( \gamma^{2}>\omega_{0}^{2}): não há oscilações no transiente, apenas somas de exponenciais reais decrescentes; o retorno à resposta forçada é monotônico.
  • Caso crítico ( \gamma^{2}=\omega_{0}^{2}): decaimento mais rápido possível sem oscilar; o transiente tem termo em t e^{-\gamma t}.
  • Caso subamortecido ( \gamma^{2}<\omega_{0}^{2}): o transiente é oscilatório com frequência amortecida \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}} e envoltória e^{-\gamma t}.
  • Regime permanente: quando t grande, x_{h}(t)\to0 e a solução tende para x_{p}(t)=X\cos(\omega t+\theta-\varphi). A amplitude X depende fortemente de \omega: para amortecimento pequeno ( \gamma pequeno) X é grande quando \omega está próximo de \omega_{0} (ressonância). Mais precisamente, o pico de amplitude ocorre aproximadamente em \omega\approx\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}} (para \gamma pequeno desloca a frequência de pico para baixo).
  • Fase \varphi: varia de 0 (quando \omega\ll\omega_{0}) a \pi (quando \omega\gg\omega_{0}), passando por \pi/2 aproximadamente na vizinhança de \omega\approx\omega_{0}. Isso significa que, dependendo da frequência, a resposta pode estar praticamente em fase, defasada 90° ou quase em oposição de fase à força.
  • Observação sobre \theta: \theta apenas desloca a fase global da forçante; na forma final x_{p}(t)=X\cos(\omega t+\theta-\varphi) já está tudo contabilizado.
  • Dica de prova: para achar X e \varphi use a forma com D=k-m\omega^{2} ou com \omega_{0},\gamma segundo for mais conveniente. Para constantes da homogênea sempre calcule x_{p}(0) e \dot{x}_{p}(0) e resolva o sistema linear simples (como feito acima).

Resposta

Caso sobreamortecido ( \gamma^{2}>\omega_{0}^{2}, s=\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}, r_{1}=-\gamma+s, r_{2}=-\gamma-s):
x(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}+X\cos(\omega t+\theta-\varphi),
X=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}},\qquad \varphi=\arctan\!\left(\frac{b\omega}{k-m\omega^{2}}\right),
C_{1}=\frac{\,v_{0}-\dot{x}_{p}(0)-r_{2}\bigl(x_{0}-x_{p}(0)\bigr)\,}{r_{1}-r_{2}},\qquad C_{2}=\frac{\,r_{1}\bigl(x_{0}-x_{p}(0)\bigr)-\bigl(v_{0}-\dot{x}_{p}(0)\bigr)\,}{r_{1}-r_{2}},
x_{p}(0)=X\cos(\theta-\varphi),\qquad \dot{x}_{p}(0)=-X\omega\sin(\theta-\varphi).
Caso crítico ( \gamma^{2}=\omega_{0}^{2}):
x(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{-\gamma t}+X\cos(\omega t+\theta-\varphi),
C_{1}=x_{0}-x_{p}(0),\qquad C_{2}=v_{0}-\dot{x}_{p}(0)+\gamma(x_{0}-x_{p}(0)),
com X,\varphi,x_{p}(0),\dot{x}_{p}(0) como acima.
Caso subamortecido ( \gamma^{2}<\omega_{0}^{2}, \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}):
x(t)=e^{-\gamma t}\Bigl((x_{0}-x_{p}(0))\cos(\omega_{1}t)+\frac{v_{0}-\dot{x}_{p}(0)+\gamma(x_{0}-x_{p}(0))}{\omega_{1}}\sin(\omega_{1}t)\Bigr)+X\cos(\omega t+\theta-\varphi),
com X,\varphi,x_{p}(0),\dot{x}_{p}(0) definidos acima.

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