Para os casos de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) determine a solução de
que satisfaz as condições iniciais
e
, com as forças aplicadas abaixo:
onde
e
são constantes positivas e
é uma constante. Discuta as soluções de cada caso.
onde
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução da equação de movimento
com
e condições iniciais
,
. Os dados relevantes são:
- constantes:
, , , , , real; - condições iniciais:
, .
O enunciado pede as soluções para os três casos de amortecimento: supercrítico (sobreamortecido), crítico e subcrítico (subamortecido). A resolução vai construir a solução geral como soma da solução homogênea (transiente) e de uma solução particular (forçada) e, em seguida, aplicar as condições iniciais em cada caso.
Passo 2
Preparação de notação e ideia geral. Introduzo parâmetros úteis:
A equação pode ser escrita como
Estratégia: procurar a solução geral na forma
onde
é solução da homogênea
e
é uma solução particular forçada (solução estacionária). Depois usamos
e
para determinar as constantes da solução homogênea.
Passo 3
Construção da solução particular
por coeficientes indeterminados (ansatz real). Tento
com
constantes a determinar. Calculando derivadas:
Substituo na EDO e agrupo os coeficientes de
e
. Isso dá o sistema linear
Defino
. Resolvo o sistema (eliminação): da segunda equação
(quando
; se
é caso particular que a fórmula geral também cobre como limite). Substituindo na primeira:
E então
A amplitude e defasagem ficam mais elegantes se definirmos
e a fase
por
onde atenção: se
a
deve ser ajustada por
para obter o quadrante correto. Assim a solução particular pode ser reescrita como
com
ou, dividindo por
,
Também serão úteis os valores em
:
Passo 4
Solução homogênea
: característica
raízes
Três casos conforme o discriminante
:
- caso sobreamortecido (supercrítico):
(duas raízes reais distintas); - caso crítico:
(raiz real dupla); - caso subamortecido (subcrítico):
(raízes complexas conjugadas).
Vou escrever
em cada caso e aplicar as condições iniciais usando os valores de
e
já calculados.
Passo 5
Caso sobreamortecido (
). Defino
Então
Impondo condições iniciais
e lembrando
e
, obtemos o sistema
Resolvendo (com
):
Portanto a solução completa é
com
dados acima e
do Passo 3.
Passo 6
Caso crítico (
). A raiz dupla é
. A solução homogênea é
Condições iniciais: em
dá
. A derivada
em
dá
, assim
Solução completa:
Passo 7
Caso subamortecido (
). Defino
Solução homogênea
Condições iniciais: em
. A derivada é
Em
obtemos
portanto
Solução completa:
Passo 8
Discussão física e comportamentos de cada caso (intuitivo e útil para prova):
- Estrutura geral: a solução é soma de transiente
e regime forçado . O termo depende das condições iniciais e decai exponencialmente (porque as partes reais das raízes são negativas se ); o termo é uma oscilação na frequência da força externa com amplitude e defasagem relativas a . - Caso sobreamortecido (
): não há oscilações no transiente, apenas somas de exponenciais reais decrescentes; o retorno à resposta forçada é monotônico. - Caso crítico (
): decaimento mais rápido possível sem oscilar; o transiente tem termo em . - Caso subamortecido (
): o transiente é oscilatório com frequência amortecida e envoltória . - Regime permanente: quando
grande, e a solução tende para . A amplitude depende fortemente de : para amortecimento pequeno ( pequeno) é grande quando está próximo de (ressonância). Mais precisamente, o pico de amplitude ocorre aproximadamente em (para pequeno desloca a frequência de pico para baixo). - Fase
: varia de (quando ) a (quando ), passando por aproximadamente na vizinhança de . Isso significa que, dependendo da frequência, a resposta pode estar praticamente em fase, defasada 90° ou quase em oposição de fase à força. - Observação sobre
: apenas desloca a fase global da forçante; na forma final já está tudo contabilizado. - Dica de prova: para achar
e use a forma com ou com segundo for mais conveniente. Para constantes da homogênea sempre calcule e e resolva o sistema linear simples (como feito acima).
Resposta
Caso sobreamortecido (
,
,
,
):
Caso crítico (
):
com
como acima.
Caso subamortecido (
,
):
com
definidos acima.