Para os casos de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) determine a solução de m \ddot{x}+b \dot{x}+k x=F(t) que satisfaz as condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0}, com as forças aplicadas abaixo:
F(t)=\frac{F_{0}}{t_{0}} t \cos (\omega t+\theta)
onde F_{0}, t_{0}, \alpha e \omega são constantes positivas e \theta é uma constante. Discuta as soluções de cada caso.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução da equação de movimento linear amortecida forçada
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=F(t)
sujeita às condições iniciais \;x(0)=x_{0},\;\dot{x}(0)=v_{0}, quando a força aplicada é
F(t)=\frac{F_{0}}{t_{0}}\,t\cos(\omega t+\theta),
com F_{0},t_{0},\alpha,\omega>0 e \theta constante. O que é pedido explicitamente:
  • A solução x(t) para os três casos de amortecimento: supercrítico (overdamped), crítico e subcrítico (underdamped).
  • Discutir o comportamento de cada solução (papel da parte homogênea, da parte forçada, possíveis efeitos de ressonância, decaimento, etc.).
Informações fornecidas e que vou usar:
  • Massa m, amortecimento b e rigidez k aparecem no enunciado.
  • Força F(t)=\dfrac{F_{0}}{t_{0}}\,t\cos(\omega t+\theta).
  • Condições iniciais x(0)=x_0,\;\dot x(0)=v_0.
  • O enunciado menciona \alpha — vou usá-la como a meia taxa de amortecimento: \alpha=\dfrac{b}{2m} (definição comum). Também uso a frequência natural \omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Classificação dos casos pelo discriminante \alpha^2-\omega_0^2:
    • Supercrítico: \alpha^2>\omega_0^2.
    • Crítico: \alpha^2=\omega_0^2.
    • Subcrítico: \alpha^2<\omega_0^2.

Passo 2

Vamos normalizar a equação dividindo por m e colocar em termos de \alpha e \omega_0. Dividindo por m obtemos
\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^{2}x=f(t),
onde eu defini
\alpha=\frac{b}{2m},\qquad \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad f(t)=\frac{F(t)}{m}=\frac{F_{0}}{m\,t_{0}}\,t\cos(\omega t+\theta).
Estrutura geral da solução: x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t), onde x_{h} é a solução da homogênea
\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^{2}x=0
e x_{p} é uma solução particular da equação forçada. Vou obter x_{h} em cada caso e depois x_{p} através da função resposta (Green / Duhamel), que é o método sistemático e útil em prova.

Passo 3

Solução homogênea e determinação das constantes a partir das condições iniciais (passo a passo).
3.1 Raízes do polinômio característico. As raízes são
r_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}.
Dependendo do sinal de \alpha^{2}-\omega_0^{2} temos os três regimes:
3.2 Supercrítico ( \alpha^{2}>\omega_{0}^{2}). As raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas ( r_{1}\neq r_{2}). A solução homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
Aplicando as condições iniciais (note que a parte particular satisfaz x_{p}(0)=0 e \dot x_{p}(0)=0 porque a integral de convolução desde 0 é zero no instante inicial — demonstro isso nos passos seguintes), impomos
C_{1}+C_{2}=x_{0},\qquad C_{1}r_{1}+C_{2}r_{2}=v_{0}.
Resolvendo esse sistema linear obtemos
C_{1}=\frac{v_{0}-r_{2}x_{0}}{r_{1}-r_{2}},\qquad C_{2}=\frac{r_{1}x_{0}-v_{0}}{r_{1}-r_{2}}.
Essas expressões servem para qualquer par de raízes distintas (overdamped).
3.3 Crítico ( \alpha^{2}=\omega_{0}^{2}). As raízes coincidem: r_{1}=r_{2}=-\alpha. A solução homogênea é
x_{h}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-\alpha t}.
Condições iniciais:
C_{1}=x_{0},\qquad -\alpha C_{1}+C_{2}=v_{0}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=v_{0}+\alpha x_{0}.
3.4 Subcrítico ( \alpha^{2}<\omega_{0}^{2}). Defina \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}>0. As raízes são complexas conjuntas r=-\alpha\pm i\omega_{d} e a solução homogênea pode ser escrita como
x_{h}(t)=e^{-\alpha t}\big(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\big).
Impondo condições iniciais:
A=x_{0},\qquad -\alpha A+\omega_{d}B=v_{0}\quad\Rightarrow\quad B=\frac{v_{0}+\alpha x_{0}}{\omega_{d}}.
Até aqui temos a parte homogênea em cada caso e as constantes expressas por x_{0},v_{0}. Agora vamos construir a solução particular x_{p} pelo método da função resposta (Duhamel), que é robusto para qualquer F(t) da forma dada.

Passo 4

Função resposta (Green) para o sistema linear e fórmula de Duhamel.
4.1 Definição e forma geral. A função resposta h(t) do sistema satisfa-z
\ddot h + 2\alpha \dot h + \omega_0^2 h = \frac{1}{m}\delta(t),\qquad h(t)=0\\ \text{para }t<0.
Então, a solução particular para um forçamento F(t) é a convolução causal
x_{p}(t)=\int_{0}^{t} h(t-s)\,F(s)\,ds.
Vou escrever h em forma explícita nos três regimes (é importante decorar essas formas para prova).
4.2 Distintas raízes (supercrítico): r_{1}\neq r_{2}. Aplicando frações parciais no domínio de Laplace obtém-se
h(t)=\frac{1}{m(r_{1}-r_{2})}\big(e^{r_{1}t}-e^{r_{2}t}\big),\qquad t\ge0.
(Verificação rápida: transformada de h é 1/[m(s-r_1)(s-r_2)].)
4.3 Crítico (dupla raiz r=-\alpha). A função resposta é o limite r_{1}\to r_{2}, o que dá
h(t)=\frac{1}{m}\,t\,e^{-\alpha t},\qquad t\ge0.
4.4 Subcrítico (raízes complexas). Com \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2},
h(t)=\frac{1}{m\omega_{d}}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t),\qquad t\ge0.
(Consistência: esta forma é equivalente à escrita com exponenciais complexas.)
4.5 Fórmula de Duhamel aplicada ao nosso F(s)=\dfrac{F_0}{t_0}\,s\cos(\omega s+\theta). Assim, em qualquer caso
x_{p}(t)=\int_{0}^{t} h(t-s)\,\frac{F_{0}}{t_{0}}\,s\cos(\omega s+\theta)\,ds.
Para manipular essa integral de forma prática, uso a representação complexa da cosenoide:
\cos(\omega s+\theta)=\Re\big(e^{i\theta}e^{i\omega s}\big).
Então posso escrever
x_{p}(t)=\frac{F_{0}}{t_{0}}\Re\!\left[e^{i\theta}\int_{0}^{t}h(t-s)\,s e^{i\omega s}\,ds\right].
Esta representação simplifica o cálculo porque reduz a integral a integrais do tipo \int s e^{\lambda s} ds (que têm primitiva conhecida).

Passo 5

Cálculo explícito da integral particular para o caso de raízes distintas (supercrítico) — procedimento que também serve para subir ao caso complexo por continuidade. Este é o passo técnico que você precisa saber fazer numa prova.
5.1 Escreva x_{p} usando h com exponenciais distintas:
x_{p}(t)=\frac{1}{m(r_{1}-r_{2})}\,\frac{F_{0}}{t_{0}}\sum_{j=1}^{2}(-1)^{\,j+1} e^{r_{j}t}\int_{0}^{t}s\,e^{-r_{j}s}\cos(\omega s+\theta)\,ds.
(Expliquei antes: fatorizei e^{r_j t} porque h(t-s) contém e^{r_j(t-s)}.)
5.2 Calcule a integral genérica
I_{j}(t):=\int_{0}^{t}s\,e^{-r_{j}s}\cos(\omega s+\theta)\,ds.
Usando \cos(\omega s+\theta)=\Re(e^{i\theta}e^{i\omega s}) temos
I_{j}(t)=\Re\!\left[e^{i\theta}\int_{0}^{t}s\,e^{\mu_{j}s}\,ds\right],\qquad\mu_{j}:=i\omega-r_{j}.
A primitiva conhecida é
\int s\,e^{\mu s}\,ds=\frac{e^{\mu s}(\mu s-1)}{\mu^{2}}+C.
Aplicando os limites 0 a t obtemos
\int_{0}^{t}s\,e^{\mu_{j}s}\,ds=\frac{e^{\mu_{j}t}(\mu_{j}t-1)+1}{\mu_{j}^{2}}.
Portanto
I_{j}(t)=\Re\!\left[e^{i\theta}\frac{e^{\mu_{j}t}(\mu_{j}t-1)+1}{\mu_{j}^{2}}\right].
5.3 Substituindo em x_{p} (raízes distintas) obtemos a expressão fechada
x_{p}(t)=\frac{F_{0}}{m\,t_{0}}\frac{1}{r_{1}-r_{2}}\sum_{j=1}^{2}(-1)^{\,j+1} e^{r_{j}t}\Re\!\left[e^{i\theta}\frac{e^{\mu_{j}t}(\mu_{j}t-1)+1}{\mu_{j}^{2}}\right],
com \mu_{j}=i\omega-r_{j}. Esta é uma forma explícita e utilizável na prova: tudo está em termos de exponenciais e números complexos cuja parte real tomamos no final.
5.4 Comentário sobre os termos iniciais: note que \int_{0}^{0}\cdots=0, logo x_{p}(0)=0 e x'_{p}(0)=0. Assim as constantes C_{1},C_{2} obtidas no Passo 3 são mesmo aquelas que satisfazem as condições iniciais do problema total x=x_{h}+x_{p}.

Passo 6

Casos limite: crítico e subcrítico tratados a partir da forma geral e por continuidade.
6.1 Caso crítico ( \alpha^{2}=\omega_{0}^{2}, r_{1}=r_{2}=-\alpha). Pode-se obter x_{p} tomando o limite r_{2}\to r_{1} na expressão do passo anterior ou usando diretamente h(t)=\dfrac{1}{m}t e^{-\alpha t}. A fórmula de Duhamel dá
x_{p}(t)=\frac{F_{0}}{m\,t_{0}}\Re\!\left[e^{i\theta}\int_{0}^{t}(t-s)e^{-\alpha (t-s)} s e^{i\omega s}\,ds\right].
Essa integral pode ser avaliada analiticamente com integrais do tipo \int s(t-s)e^{\lambda s}\,ds e resulta numa combinação de termos exponenciais e polinomiais em t multiplicados por funções seno/cosseno de \omega t. Em provas vale mostrar o procedimento: expandir (t-s)s, usar exponencial complexa, aplicar a primitiva de s e^{\mu s} e de s^{2} e^{\mu s} e tomar a parte real. Procedimento algébrico direto e mecânico.
6.2 Caso subcrítico ( \alpha^{2}<\omega_{0}^{2}). Aqui é mais prático usar a forma senoidal de h:
h(t)=\frac{1}{m\omega_{d}}e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t).
Então
x_{p}(t)=\frac{F_{0}}{m\,t_{0}}\Re\!\left[e^{i\theta}\int_{0}^{t}\frac{1}{\omega_{d}}e^{-\alpha (t-s)}\sin(\omega_{d}(t-s))\,s e^{i\omega s}\,ds\right].
Uma estratégia eficiente: escreva \sin(\omega_{d}(t-s))=\Im(e^{i\omega_{d}(t-s)}) e consolide exponenciais para obter integrais do tipo \int s e^{\lambda s}ds com \lambda complexo (mesmo procedimento do caso de raízes distintas). O resultado final será algo da forma
x_{p}(t)=\frac{F_{0}}{m\,t_{0}}\Re\!\Big\{e^{i\theta}\,Q(t)\Big\},
onde Q(t) é uma combinação explícita de termos \exp((-\alpha\pm i\omega_{d})t) multiplicados por polinômios em t e por fatores dependentes de \omega e de \omega_{d}. Novamente, a técnica é substituir \cos por expoentes complexos, calcular as primitivas e tomar parte real. No caso subcrítico com amortecimento estrito \alpha>0 não ocorre divergência infinita: os termos homogêneos decaem exponencialmente e o forçado fica limitado por combinações das exponenciais e polinômios resultantes.

Passo 7

Discussão do comportamento físico e da solução em cada caso (o que lembrar na prova).
7.1 Homogênea versus particular: a solução total é soma das duas partes. A parte homogênea sempre decai (exponencialmente) quando [\alpha>0): em overdamped e critical a decaída é real exponencial, em underdamped a decaída é exponencial modulando oscilações. Logo, para t grande a solução é dominada pela parte particular x_{p}(t).
7.2 Efeito do fator t em F(t): como a força cresce linearmente em amplitude (multiplicada por \cos), o particular pode apresentar termos que cresçam em t ou que sejam grandes se o amortecimento for pequeno; porém, com \alpha>0 o núcleo de convolução h decai como e^{-\alpha t}, e isso evita divergência infinita na maioria dos cenários. Somente no caso sem amortecimento ( \alpha=0) haveria ressonância estrita se \omega=\omega_{0} que levaria a termos com crescimento linear (resposta secular). Com amortecimento pequeno e \omega próximo de \omega_{d} o sistema pode apresentar amplitude grande (quase-ressonante) — lembrar esse argumento na prova.
7.3 Resumo prático para prova:
  • Apresente sempre a normalização \ddot x + 2\alpha \dot x + \omega_0^2 x = f(t).
  • Escreva x_h conforme o regime (exponenciais reais distintos / e^{-\alpha t}(A\cos+\dots) / (C_1 + C_2 t)e^{-\alpha t}).
  • Use a função resposta h(t) dada por h(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{m(r_1-r_2)}\big(e^{r_1 t}-e^{r_2 t}\big),&\alpha^{2}>\omega_0^{2},\\[6pt] \dfrac{1}{m}t e^{-\alpha t},&\alpha^{2}=\omega_0^{2},\\[6pt] \dfrac{1}{m\omega_d}e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t),&\alpha^{2}<\omega_0^{2}, \end{cases}e calcule x_{p}(t)=\int_{0}^{t}h(t-s)F(s)\,ds\] transformando o \(\cos em exponencial complexa e usando \int s e^{\mu s}ds=\dfrac{e^{\mu s}(\mu s-1)}{\mu^{2}}.
  • Se for pedido, escreva a forma fechada (como no Passo 5) usando \mu_j=i\omega-r_j e tomando parte real.]

Resposta

Supercrítico ( \alpha^{2}>\omega_{0}^{2}):
x(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}+\frac{F_{0}}{m\,t_{0}}\frac{1}{r_{1}-r_{2}}\sum_{j=1}^{2}(-1)^{j+1} e^{r_{j}t}\Re\!\left[e^{i\theta}\frac{e^{\mu_{j}t}(\mu_{j}t-1)+1}{\mu_{j}^{2}}\right],
com r_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}, \mu_{j}=i\omega-r_{j}, e
C_{1}=\frac{v_{0}-r_{2}x_{0}}{r_{1}-r_{2}},\qquad C_{2}=\frac{r_{1}x_{0}-v_{0}}{r_{1}-r_{2}}.
Crítico ( \alpha^{2}=\omega_{0}^{2}):
x(t)=(x_{0}+(v_{0}+\alpha x_{0})t)e^{-\alpha t}+\frac{F_{0}}{m\,t_{0}}\Re\!\left[e^{i\theta}\int_{0}^{t}(t-s)e^{-\alpha (t-s)}s e^{i\omega s}ds\right],
onde a integral pode ser computada explicitamente usando primitiva de s e^{\mu s} e s^{2}e^{\mu s} (procedimento algébrico direto).
Subcrítico ( \alpha^{2}<\omega_{0}^{2}, \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}):
x(t)=e^{-\alpha t}\Big(x_{0}\cos(\omega_{d}t)+\frac{v_{0}+\alpha x_{0}}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t)\Big)+\frac{F_{0}}{m\,t_{0}}\Re\!\left[e^{i\theta}\int_{0}^{t}\frac{1}{\omega_{d}}e^{-\alpha (t-s)}\sin(\omega_{d}(t-s))\,s e^{i\omega s}ds\right].
Observações finais (resumo de discussão):
  • Em todos os casos a parte homogênea decai exponencialmente quando \alpha>0.
  • A parte particular é obtida por convolução com a função resposta h(t) dada no passo anterior; calcular a integral com a substituição complexa torna-se direto porque \int s e^{\mu s}ds é conhecido.
  • Não há ressonância infinita se \alpha>0; ressonância estrita (crescimento secular infinito) só ocorre no caso não amortecido \alpha=0 quando \omega=\omega_{0}. Em provas, destaque: usar \mu_{j}=i\omega-r_{j} e a fórmula da primitiva para obter a forma fechada mostrada no caso supercrítico (que por continuidade dá os outros casos).

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