Para os casos de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) determine a solução de m \ddot{x}+b \dot{x}+k x=F(t) que satisfaz as condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0}, com as forças aplicadas abaixo: F(t)=\frac{F_{0}}{t_{0}} t \cos (\omega t+\theta)
onde F_{0}, t_{0}, \alpha e \omega são constantes positivas e \theta é uma constante. Discuta as soluções de cada caso.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução da equação de movimento linear amortecida forçada
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=F(t)
sujeita às condições iniciais \;x(0)=x_{0},\;\dot{x}(0)=v_{0}, quando a força aplicada é
F(t)=\frac{F_{0}}{t_{0}}\,t\cos(\omega t+\theta),
com F_{0},t_{0},\alpha,\omega>0 e \theta constante. O que é pedido explicitamente:
A solução x(t) para os três casos de amortecimento: supercrítico (overdamped), crítico e subcrítico (underdamped).
Discutir o comportamento de cada solução (papel da parte homogênea, da parte forçada, possíveis efeitos de ressonância, decaimento, etc.).
Informações fornecidas e que vou usar:
Massa m, amortecimento b e rigidez k aparecem no enunciado.
O enunciado menciona \alpha — vou usá-la como a meia taxa de amortecimento: \alpha=\dfrac{b}{2m} (definição comum). Também uso a frequência natural \omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Classificação dos casos pelo discriminante \alpha^2-\omega_0^2:
Supercrítico: \alpha^2>\omega_0^2.
Crítico: \alpha^2=\omega_0^2.
Subcrítico: \alpha^2<\omega_0^2.
Passo 2
Vamos normalizar a equação dividindo por m e colocar em termos de \alpha e \omega_0. Dividindo por m obtemos
Estrutura geral da solução: x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t), onde x_{h} é a solução da homogênea
\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^{2}x=0
e x_{p} é uma solução particular da equação forçada. Vou obter x_{h} em cada caso e depois x_{p} através da função resposta (Green / Duhamel), que é o método sistemático e útil em prova.
Passo 3
Solução homogênea e determinação das constantes a partir das condições iniciais (passo a passo).
3.1 Raízes do polinômio característico. As raízes são
Dependendo do sinal de \alpha^{2}-\omega_0^{2} temos os três regimes:
3.2 Supercrítico (\alpha^{2}>\omega_{0}^{2}). As raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas (r_{1}\neq r_{2}). A solução homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
Aplicando as condições iniciais (note que a parte particular satisfaz x_{p}(0)=0 e \dot x_{p}(0)=0 porque a integral de convolução desde 0 é zero no instante inicial — demonstro isso nos passos seguintes), impomos
3.4 Subcrítico (\alpha^{2}<\omega_{0}^{2}). Defina \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}>0. As raízes são complexas conjuntas r=-\alpha\pm i\omega_{d} e a solução homogênea pode ser escrita como
Até aqui temos a parte homogênea em cada caso e as constantes expressas por x_{0},v_{0}. Agora vamos construir a solução particular x_{p} pelo método da função resposta (Duhamel), que é robusto para qualquer F(t) da forma dada.
Passo 4
Função resposta (Green) para o sistema linear e fórmula de Duhamel.
4.1 Definição e forma geral. A função resposta h(t) do sistema satisfa-z
\ddot h + 2\alpha \dot h + \omega_0^2 h = \frac{1}{m}\delta(t),\qquad h(t)=0\\ \text{para }t<0.
Então, a solução particular para um forçamento F(t) é a convolução causal
x_{p}(t)=\int_{0}^{t} h(t-s)\,F(s)\,ds.
Vou escrever h em forma explícita nos três regimes (é importante decorar essas formas para prova).
4.2 Distintas raízes (supercrítico): r_{1}\neq r_{2}. Aplicando frações parciais no domínio de Laplace obtém-se
Esta representação simplifica o cálculo porque reduz a integral a integrais do tipo \int s e^{\lambda s} ds (que têm primitiva conhecida).
Passo 5
Cálculo explícito da integral particular para o caso de raízes distintas (supercrítico) — procedimento que também serve para subir ao caso complexo por continuidade. Este é o passo técnico que você precisa saber fazer numa prova.
5.1 Escreva x_{p} usando h com exponenciais distintas:
com \mu_{j}=i\omega-r_{j}. Esta é uma forma explícita e utilizável na prova: tudo está em termos de exponenciais e números complexos cuja parte real tomamos no final.
5.4 Comentário sobre os termos iniciais: note que \int_{0}^{0}\cdots=0, logo x_{p}(0)=0 e x'_{p}(0)=0. Assim as constantes C_{1},C_{2} obtidas no Passo 3 são mesmo aquelas que satisfazem as condições iniciais do problema total x=x_{h}+x_{p}.
Passo 6
Casos limite: crítico e subcrítico tratados a partir da forma geral e por continuidade.
6.1 Caso crítico (\alpha^{2}=\omega_{0}^{2}, r_{1}=r_{2}=-\alpha). Pode-se obter x_{p} tomando o limite r_{2}\to r_{1} na expressão do passo anterior ou usando diretamente h(t)=\dfrac{1}{m}t e^{-\alpha t}. A fórmula de Duhamel dá
x_{p}(t)=\frac{F_{0}}{m\,t_{0}}\Re\!\left[e^{i\theta}\int_{0}^{t}(t-s)e^{-\alpha (t-s)} s e^{i\omega s}\,ds\right].
Essa integral pode ser avaliada analiticamente com integrais do tipo \int s(t-s)e^{\lambda s}\,ds e resulta numa combinação de termos exponenciais e polinomiais em t multiplicados por funções seno/cosseno de \omega t. Em provas vale mostrar o procedimento: expandir (t-s)s, usar exponencial complexa, aplicar a primitiva de s e^{\mu s} e de s^{2} e^{\mu s} e tomar a parte real. Procedimento algébrico direto e mecânico.
6.2 Caso subcrítico (\alpha^{2}<\omega_{0}^{2}). Aqui é mais prático usar a forma senoidal de h:
Uma estratégia eficiente: escreva \sin(\omega_{d}(t-s))=\Im(e^{i\omega_{d}(t-s)}) e consolide exponenciais para obter integrais do tipo \int s e^{\lambda s}ds com \lambda complexo (mesmo procedimento do caso de raízes distintas). O resultado final será algo da forma
onde Q(t) é uma combinação explícita de termos \exp((-\alpha\pm i\omega_{d})t) multiplicados por polinômios em t e por fatores dependentes de \omega e de \omega_{d}. Novamente, a técnica é substituir \cos por expoentes complexos, calcular as primitivas e tomar parte real. No caso subcrítico com amortecimento estrito \alpha>0 não ocorre divergência infinita: os termos homogêneos decaem exponencialmente e o forçado fica limitado por combinações das exponenciais e polinômios resultantes.
Passo 7
Discussão do comportamento físico e da solução em cada caso (o que lembrar na prova).
7.1 Homogênea versus particular: a solução total é soma das duas partes. A parte homogênea sempre decai (exponencialmente) quando [\alpha>0): em overdamped e critical a decaída é real exponencial, em underdamped a decaída é exponencial modulando oscilações. Logo, para t grande a solução é dominada pela parte particular x_{p}(t).
7.2 Efeito do fator t em F(t): como a força cresce linearmente em amplitude (multiplicada por \cos), o particular pode apresentar termos que cresçam em t ou que sejam grandes se o amortecimento for pequeno; porém, com \alpha>0 o núcleo de convolução h decai como e^{-\alpha t}, e isso evita divergência infinita na maioria dos cenários. Somente no caso sem amortecimento (\alpha=0) haveria ressonância estrita se \omega=\omega_{0} que levaria a termos com crescimento linear (resposta secular). Com amortecimento pequeno e \omega próximo de \omega_{d} o sistema pode apresentar amplitude grande (quase-ressonante) — lembrar esse argumento na prova.
7.3 Resumo prático para prova:
Apresente sempre a normalização \ddot x + 2\alpha \dot x + \omega_0^2 x = f(t).
Em todos os casos a parte homogênea decai exponencialmente quando \alpha>0.
A parte particular é obtida por convolução com a função resposta h(t) dada no passo anterior; calcular a integral com a substituição complexa torna-se direto porque \int s e^{\mu s}ds é conhecido.
Não há ressonância infinita se \alpha>0; ressonância estrita (crescimento secular infinito) só ocorre no caso não amortecido \alpha=0 quando \omega=\omega_{0}. Em provas, destaque: usar \mu_{j}=i\omega-r_{j} e a fórmula da primitiva para obter a forma fechada mostrada no caso supercrítico (que por continuidade dá os outros casos).