Para os casos de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) determine a solução de
que satisfaz as condições iniciais
e
, com as forças aplicadas abaixo:
onde
e
são constantes positivas e
é uma constante. Discuta as soluções de cada caso.
onde
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos\n
O enunciado pede: determinar a solução da equação de segunda ordem com coeficientes constantes
O enunciado pede: determinar a solução da equação de segunda ordem com coeficientes constantes
que satisfaz as condições iniciais
e
, quando a força aplicada é
Dados relevantes (constantes positivas):
(e no enunciado aparece também
e
como constantes positivas, mas a equação principal usa
; usaremos
abaixo para a frequência natural).\n
Perguntas: para cada caso de amortecimento (supercrítico / crítico / subcrítico) – isto é, – determinar a solução
que satisfaz as condicionais iniciais e discutir as soluções (comportamento temporal, papel do forçamento).\n
Informações observadas e que usaremos: porque
e é suave; portanto a resposta particular não contribui para as condições iniciais no instante
(isto será útil).
Perguntas: para cada caso de amortecimento (supercrítico / crítico / subcrítico) – isto é,
Informações observadas e que usaremos:
Passo 2
Normalização e definições úteis (fórmulas que vou usar)\n
É conveniente dividir a EDO por e introduzir a frequência natural
e o coeficiente de amortecimento adimensional
:
É conveniente dividir a EDO por
A equação normalizada fica
As três classes de solução dependem dos raízes do polinômio característico
:
- Se
(subcrítico, subamortecido): raízes complexas conjugadas e definimos a frequência amortecida
- Se
(crítico): raiz dupla . - Se
(supercrítico, sobreamortecido): duas raízes reais distintas e negativas.
Também é muito útil usar a resposta ao impulso (função de Green ou função de transferência no tempo)
que satisfaz
Com
a solução particular para um forçamento arbitrário
é dada por convolução causal
e a solução total é
, onde
é a solução do homogêneo com constantes escolhidas para satisfazer as condições iniciais. Observação importante:
para este sistema (veja passo seguinte), e como
temos
e
; logo as constantes do homogêneo são exatamente as impostas por
e
.
Passo 3
Determinar
(resposta ao impulso) nos três casos e escrever a solução particular por convolução\n
Vamos dar explicitamente porque é a peça que aparece na convolução com
.
Vamos dar explicitamente
- Subamortecido
. Neste caso
onde
. (Derivação rápida:
e inversa de Laplace dá a forma exponencial-seno.)
- Criticamente amortecido
. Aqui a raíz dupla dá
- Sobreamortecido
. Seja (ambos negativos). Então
(Verifique que
em todos os casos porque o sistema é de segunda ordem sem termo proporcional a
; isso confirma a observação do passo anterior.)
Passo 4
Construir a solução total: homogênea + particular. Cálculo das constantes do homogêneo usando
e
\n
Como observado, e
, então as constantes do homogêneo são determinadas apenas por
e
. Escrevo
em cada caso.
Como observado,
- Subamortecido
. Solução homogênea:
Impondo condições iniciais:
Logo
- Criticamente amortecido
. Solução homogênea:
Condições iniciais:
Portanto
- Sobreamortecido
. Solução homogênea:
com
. Impor condições iniciais:
que dá (resolvendo o sistema)
Passo 5
Expressar a solução particular
por convolução com o
conhecido e simplificar a forma de integração\n
A solução particular para o forçamento dado é, por convolução causal,
A solução particular para o forçamento dado é, por convolução causal,
Fazer a mudança de variável
(às vezes ajuda a ver estrutura):
Esta forma é conveniente para avaliar ou estudar comportamento assintótico. Para cada caso substituímos o
correspondente:
- Subamortecido:
- Criticamente amortecido:
- Sobreamortecido:
Observação didática: cada integral acima pode ser resolvida analiticamente com integrações por partes ou usando transformada de Laplace (o que dá uma combinação de exponenciais, senos e cossenos multiplicadas por polinômios em
). Usar Laplace é muitas vezes mais direto:
com
e
; então realiza-se frações parciais e volta-se ao tempo. Aqui eu apresento as integrais explicitamente porque elas já são uma expressão completa e manipulável para a prova, e mostram claramente a dependência do forçamento.
Passo 6
Discussão dos comportamentos temporais (o que cada termo representa e a tendência para
)\n
- Termo homogêneo
: é o “transiente” imposto pelas condições iniciais. Para os três casos ele decai para com o tempo porque as raízes têm parte real negativa (assumimos ). A forma do decaimento depende de : - Subamortecido: decaimento exponencial modulando oscilações com frequência
. - Crítico: decaimento exponencial mais rápido (sem oscilações), termo
. - Sobreamortecido: soma de duas exponenciais reais, sem oscilações, decaimento lento se uma das raízes for pequena em magnitude.
- Subamortecido: decaimento exponencial modulando oscilações com frequência
- Termo particular
: é a resposta forçada. Como tende a zero exponencialmente (pois como ), a resposta particular também tende a quando — não existe regime harmônico permanente não nulo: o sistema não é permanentemente excitado por um forçamento constante ou periódico. Assim a resposta total quando . - Importante: se
for muito pequeno (forçamento decai lentamente) e se coincidir com partes reais das raízes (caso limite), pode ocorrer amplificação temporária maior (efeito de quase-resonância), mas no presente forçamento monoclínico em tempo finito não há ressonância permanente. Matematicamente, se coincide com algum polo do sistema (por exemplo se ou se gera termos coincidentes nas frações parciais), os termos da integral têm fatores polinomiais em maiores; isso aparece ao fazer frações parciais no Laplace. - Conclusão prática para a prova: você pode dar a solução em forma explícita do homogêneo (como fiz) e a solução particular por convolução (as integrais acima). Se for exigido, use Laplace para transformar
e encontre a antitransformada por frações parciais; o procedimento é mecânico e produz combinações de exponenciais e senos/cossenos.
Resposta
Subamortecido
:
onde
e
.
Criticamente amortecido
:
Sobreamortecido
:
onde
e