Para os casos de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) determine a solução de m \ddot{x}+b \dot{x}+k x=F(t) que satisfaz as condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0}, com as forças aplicadas abaixo:
F(t)=\frac{F_{0}}{t_{0}} t e^{-\alpha t}
onde F_{0}, t_{0}, \alpha e \omega são constantes positivas e \theta é uma constante. Discuta as soluções de cada caso.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos\n
O enunciado pede: determinar a solução da equação de segunda ordem com coeficientes constantes
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F(t)
que satisfaz as condições iniciais \;x(0)=x_{0}\; e \;\dot{x}(0)=v_{0}\;, quando a força aplicada é
F(t)=\frac{F_{0}}{t_{0}}\,t\,e^{-\alpha t}.
Dados relevantes (constantes positivas): \;m,b,k,F_{0},t_{0},\alpha (e no enunciado aparece também \omega e \theta como constantes positivas, mas a equação principal usa m,b,k; usaremos \omega_n abaixo para a frequência natural).\n
Perguntas: para cada caso de amortecimento (supercrítico / crítico / subcrítico) – isto é, \zeta>1,\\ \zeta=1,\\ \zeta<1 – determinar a solução x(t) que satisfaz as condicionais iniciais e discutir as soluções (comportamento temporal, papel do forçamento).\n
Informações observadas e que usaremos: \;F(0)=0 porque F(t)\propto t e é suave; portanto a resposta particular não contribui para as condições iniciais no instante t=0 (isto será útil).

Passo 2

Normalização e definições úteis (fórmulas que vou usar)\n
É conveniente dividir a EDO por m e introduzir a frequência natural \omega_n e o coeficiente de amortecimento adimensional \zeta:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \zeta=\frac{b}{2\sqrt{mk}}=\frac{b}{2m\omega_n}.
A equação normalizada fica
\ddot{x}+2\zeta\omega_n\dot{x}+\omega_n^2 x=\frac{1}{m}F(t).
As três classes de solução dependem dos raízes do polinômio característico s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0:
\text{raízes }s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}.í
  • Se \zeta<1 (subcrítico, subamortecido): raízes complexas conjugadas e definimos a frequência amortecida
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
  • Se \zeta=1 (crítico): raiz dupla s=-\omega_n.
  • Se \zeta>1 (supercrítico, sobreamortecido): duas raízes reais distintas s_1 e s_2 negativas.
Também é muito útil usar a resposta ao impulso (função de Green ou função de transferência no tempo) h(t) que satisfaz
m\ddot{h}+b\dot{h}+kh=\delta(t),\qquad h(t)=0\text{ para }t<0.
Com h(t) a solução particular para um forçamento arbitrário F é dada por convolução causal
x_p(t)=\int_0^{t} h(t-\tau)F(\tau)\,d\tau,
e a solução total é x(t)=x_h(t)+x_p(t), onde x_h(t) é a solução do homogêneo com constantes escolhidas para satisfazer as condições iniciais. Observação importante: h(0)=0 para este sistema (veja passo seguinte), e como F(0)=0 temos x_p(0)=0 e x_p'(0)=0; logo as constantes do homogêneo são exatamente as impostas por x_0 e v_0.

Passo 3

Determinar h(t) (resposta ao impulso) nos três casos e escrever a solução particular por convolução\n
Vamos dar explicitamente h(t) porque é a peça que aparece na convolução com F.
  1. Subamortecido (\zeta<1). Neste caso
h(t)=\frac{1}{m\omega_d}e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t),\qquad t\ge 0,
onde \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}. (Derivação rápida: H(s)=1/(m(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)) e inversa de Laplace dá a forma exponencial-seno.)
  1. Criticamente amortecido (\zeta=1). Aqui a raíz dupla dá
h(t)=\frac{1}{m}\,t\,e^{-\omega_n t},\qquad t\ge 0.
  1. Sobreamortecido (\zeta>1). Seja r_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} (ambos negativos). Então
h(t)=\frac{1}{m(r_2-r_1)}\bigl(e^{r_1 t}-e^{r_2 t}\bigr),\qquad t\ge 0.
(Verifique que h(0)=0 em todos os casos porque o sistema é de segunda ordem sem termo proporcional a \delta'(t); isso confirma a observação do passo anterior.)

Passo 4

Construir a solução total: homogênea + particular. Cálculo das constantes do homogêneo usando x(0)=x_0 e \dot x(0)=v_0\n
Como observado, x_p(0)=0 e x_p'(0)=0, então as constantes do homogêneo são determinadas apenas por x_0 e v_0. Escrevo x_h em cada caso.
  1. Subamortecido (\zeta<1). Solução homogênea:
x_h(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\Bigl(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\Bigr).
Impondo condições iniciais:
C_1=x_0,\qquad C_2=\frac{v_0+\zeta\omega_n x_0}{\omega_d}.
Logo
x_h(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\left[x_0\cos(\omega_d t)+\frac{v_0+\zeta\omega_n x_0}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right].
  1. Criticamente amortecido (\zeta=1). Solução homogênea:
x_h(t)=(C_1+C_2 t)e^{-\omega_n t}.
Condições iniciais:
C_1=x_0,\qquad C_2=v_0+\omega_n x_0.
Portanto
x_h(t)=\bigl(x_0+(v_0+\omega_n x_0)\,t\bigr)e^{-\omega_n t}.
  1. Sobreamortecido (\zeta>1). Solução homogênea:
x_h(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t},
com r_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}. Impor condições iniciais:
\begin{cases} C_1+C_2=x_0,\\[4pt] C_1 r_1 + C_2 r_2 = v_0, \end{cases}
que dá (resolvendo o sistema)
C_1=\frac{v_0-r_2 x_0}{r_1-r_2},\qquad C_2=\frac{r_1 x_0-v_0}{r_1-r_2}.]

Passo 5

Expressar a solução particular x_p(t) por convolução com o h(t) conhecido e simplificar a forma de integração\n
A solução particular para o forçamento dado é, por convolução causal,
x_p(t)=\int_0^{t} h(t-\tau)\,F(\tau)\,d\tau=\frac{F_0}{t_0}\int_0^{t} h(t-\tau)\,\tau e^{-\alpha \tau}\,d\tau.
Fazer a mudança de variável u=t-\tau (às vezes ajuda a ver estrutura):
x_p(t)=\frac{F_0}{t_0}e^{-\alpha t}\int_0^{t} h(u)\,(t-u)\,e^{\alpha u}\,du.
Esta forma é conveniente para avaliar ou estudar comportamento assintótico. Para cada caso substituímos o h(u) correspondente:
  1. Subamortecido:
x_p(t)=\frac{F_0}{t_0}\int_0^{t}\frac{1}{m\omega_d}e^{-\zeta\omega_n (t-\tau)}\sin\bigl(\omega_d (t-\tau)\bigr)\,\tau e^{-\alpha \tau}\,d\tau.
  1. Criticamente amortecido:
x_p(t)=\frac{F_0}{t_0}\int_0^{t}\frac{1}{m}(t-\tau)e^{-\omega_n (t-\tau)}\,\tau e^{-\alpha \tau}\,d\tau.
  1. Sobreamortecido:
x_p(t)=\frac{F_0}{t_0}\int_0^{t}\frac{1}{m(r_2-r_1)}\bigl(e^{r_1 (t-\tau)}-e^{r_2 (t-\tau)}\bigr)\,\tau e^{-\alpha \tau}\,d\tau.
Observação didática: cada integral acima pode ser resolvida analiticamente com integrações por partes ou usando transformada de Laplace (o que dá uma combinação de exponenciais, senos e cossenos multiplicadas por polinômios em t). Usar Laplace é muitas vezes mais direto: X_p(s)=H(s)F(s) com F(s)=\dfrac{F_0/t_0}{(s+\alpha)^2} e H(s)=1/(m(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)); então realiza-se frações parciais e volta-se ao tempo. Aqui eu apresento as integrais explicitamente porque elas já são uma expressão completa e manipulável para a prova, e mostram claramente a dependência do forçamento.

Passo 6

Discussão dos comportamentos temporais (o que cada termo representa e a tendência para t\to\infty)\n
  • Termo homogêneo x_h(t): é o “transiente” imposto pelas condições iniciais. Para os três casos ele decai para 0 com o tempo porque as raízes têm parte real negativa (assumimos m,b,k>0). A forma do decaimento depende de \zeta:
    • Subamortecido: decaimento exponencial modulando oscilações com frequência \omega_d.
    • Crítico: decaimento exponencial mais rápido (sem oscilações), termo t e^{-\omega_n t}.
    • Sobreamortecido: soma de duas exponenciais reais, sem oscilações, decaimento lento se uma das raízes for pequena em magnitude.
  • Termo particular x_p(t): é a resposta forçada. Como F(t) tende a zero exponencialmente (pois t e^{-\alpha t}\to 0 como t\to\infty), a resposta particular também tende a 0 quando t\to\infty — não existe regime harmônico permanente não nulo: o sistema não é permanentemente excitado por um forçamento constante ou periódico. Assim a resposta total x(t)\to 0 quando t\to\infty.
  • Importante: se \alpha for muito pequeno (forçamento decai lentamente) e se \alpha coincidir com partes reais das raízes (caso limite), pode ocorrer amplificação temporária maior (efeito de quase-resonância), mas no presente forçamento monoclínico em tempo finito não há ressonância permanente. Matematicamente, se \alpha coincide com algum polo do sistema (por exemplo se \alpha= -\Re(s_i) ou se \alpha gera termos coincidentes nas frações parciais), os termos da integral têm fatores polinomiais em t maiores; isso aparece ao fazer frações parciais no Laplace.
  • Conclusão prática para a prova: você pode dar a solução em forma explícita do homogêneo (como fiz) e a solução particular por convolução (as integrais acima). Se for exigido, use Laplace para transformar X(s)=\dfrac{F_0/t_0}{(s+\alpha)^2}\cdot\dfrac{1}{m(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)} e encontre a antitransformada por frações parciais; o procedimento é mecânico e produz combinações de exponenciais e senos/cossenos.

Resposta

Subamortecido (\zeta<1):
x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\!\left[x_0\cos(\omega_d t)+\frac{v_0+\zeta\omega_n x_0}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right] +\frac{F_0}{t_0}\int_0^{t}\frac{1}{m\omega_d}e^{-\zeta\omega_n (t-\tau)}\sin\!\bigl(\omega_d (t-\tau)\bigr)\,\tau e^{-\alpha \tau}\,d\tau,
onde \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} e \omega_n=\sqrt{k/m}.
Criticamente amortecido (\zeta=1):
x(t)=\bigl(x_0+(v_0+\omega_n x_0)\,t\bigr)e^{-\omega_n t} +\frac{F_0}{t_0}\int_0^{t}\frac{1}{m}(t-\tau)e^{-\omega_n (t-\tau)}\,\tau e^{-\alpha \tau}\,d\tau.
Sobreamortecido (\zeta>1):
x(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t} +\frac{F_0}{t_0}\int_0^{t}\frac{1}{m(r_2-r_1)}\bigl(e^{r_1 (t-\tau)}-e^{r_2 (t-\tau)}\bigr)\,\tau e^{-\alpha \tau}\,d\tau,
onde r_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} e
C_1=\frac{v_0-r_2 x_0}{r_1-r_2},\qquad C_2=\frac{r_1 x_0-v_0}{r_1-r_2}.

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