Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo transverso e conjugado. Determine os vértices, focos, as extremidades dos eixos conjugados e equações das assíntotas das hipérboles. Faço o gráfico da hipérbole.
x^2-y^2+1=0

Passo 1

O enunciado apresenta a curva
x^2-y^2+1=0
e pede para identificarmos que é uma hipérbole, determinar a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, os vértices, os focos, as extremidades do eixo conjugado, as equações das assíntotas e construir o gráfico. Para isso precisamos escrever a equação na forma canônica de hipérbole, identificar a, b e c e então extrair todas as propriedades geométricas.

Passo 2

Começamos passando para a forma padrão. Da equação
x^2-y^2+1=0
temos
x^2-y^2=-1
multiplicando ambos os lados por -1,
y^2-x^2=1
Essa é a forma canônica de uma hipérbole com eixo transverso vertical:
y^2a^2-x^2b^2=1

Passo 3

Comparando
y^2a^2-x^2b^2=1 com y^2-x^2=1
vemos que
a^2=1 e b^2=1,
ou seja
a=1, b=1

Passo 4

Na hipérbole canônica vale
c^2=a^2+b^2
Logo
c^2=1+1=2 Longrightarrow c=raiz2
A distância focal total é 2c=2raiz2. O comprimento do eixo transverso é 2a=2 e do eixo conjugado é 2b=2.

Passo 5

Os vértices ficam sobre o eixo y a uma distância a do centro (0,0), ou seja
(0,pm a)=(0,pm1)

Passo 6

Os focos estão também sobre o eixo y a uma distância c do centro, portanto
(0,pm c)=(0,pmraiz2)

Passo 7

As extremidades do eixo conjugado estão sobre o eixo x a uma distância b do centro, logo
(pm b,0)=(pm1,0)

Passo 8

As assíntotas de uma hipérbole y^2a^2-x^2b^2=1 são
y=pmab,x
Como aqui a=b=1, temos
y=pm x

Resposta

Distância focal: 2c=2raiz2.
Comprimento do eixo transverso: 2a=2.
Comprimento do eixo conjugado: 2b=2.
Vértices: (0,1) e (0,-1).
Focos: l(0,raiz2r) e l(0,-raiz2r).
Extremidades do eixo conjugado: (1,0) e (-1,0).
Assíntotas: y=x e y=-x.
Gráfico: trata-se de duas curvas simétricas em relação à origem, abertas para cima e para baixo, com vértices nos pontos (0,pm1) e assíntotas formando um “X” de equação y=pm x.

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