Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo transverso e conjugado. Determine os vértices, focos, as extremidades dos eixos conjugados e equações das assíntotas das hipérboles. Faço o gráfico da hipérbole.
Passo 1
O enunciado apresenta a curva
e pede para identificarmos que é uma hipérbole, determinar a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, os vértices, os focos, as extremidades do eixo conjugado, as equações das assíntotas e construir o gráfico. Para isso precisamos escrever a equação na forma canônica de hipérbole, identificar
,
e
e então extrair todas as propriedades geométricas.
Passo 2
Começamos passando para a forma padrão. Da equação
temos
multiplicando ambos os lados por
,
Essa é a forma canônica de uma hipérbole com eixo transverso vertical:
Passo 3
Comparando
vemos que
ou seja
Passo 4
Na hipérbole canônica vale
Logo
A distância focal total é
. O comprimento do eixo transverso é
e do eixo conjugado é
.
Passo 5
Os vértices ficam sobre o eixo
a uma distância
do centro
, ou seja
Passo 6
Os focos estão também sobre o eixo
a uma distância
do centro, portanto
Passo 7
As extremidades do eixo conjugado estão sobre o eixo
a uma distância
do centro, logo
Passo 8
As assíntotas de uma hipérbole
são
Como aqui
, temos
Resposta
Distância focal:
.
Comprimento do eixo transverso: .
Comprimento do eixo conjugado: .
Vértices: e
.
Focos: e
.
Extremidades do eixo conjugado: e
.
Assíntotas: e
.
Comprimento do eixo transverso:
Comprimento do eixo conjugado:
Vértices:
Focos:
Extremidades do eixo conjugado:
Assíntotas:
Gráfico: trata-se de duas curvas simétricas em relação à origem, abertas para cima e para baixo, com vértices nos pontos
e assíntotas formando um “X” de equação
.