2^circ ) Calcule os seguintes limites:
lim x 5 raiz[3]x-raiz[3]5x-5

Passo 1

O enunciado pede
limxto5raiz[3]x-raiz[3]5x-5
Esse é um limite do tipo tfrac00, e podemos resolvê-lo usando a fatoração da diferença de cubos ou ainda reconhecendo que ele corresponde à derivada de f(x)=raiz[3]x em x=5.

Passo 2

Vamos usar a fatoração de diferença de cubos. Defina
a=raiz[3]x, b=raiz[3]5
Então x=a^3 e 5=b^3, e vale
x-5 = a^3 - b^3 = (a-b),(a^2 + ab + b^2)
Logo
raiz[3]x-raiz[3]5x-5 = a-b(a-b),(a^2+ab+b^2) = 1a^2+ab+b^2

Passo 3

Quando xto5, temos a=raiz[3]xtoraiz[3]5=b. Assim
a^2+ab+b^2 ;longrightarrow; b^2+b^2+b^2 ;=; 3b^2 ;=; 3(raiz[3]5)^2 ;=; 3cdot5^2/3
Portanto
limxto5raiz[3]x-raiz[3]5x-5 = 13cdot5^2/3

Resposta

13cdot5^2/3

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