Os catetos de um triângulo retângulo foram medidos como tendo 3 cm e 4 cm , com um erro máximo de
em cada medida. Use diferenciais para aproximar o erro possível máximo no valor calculado de (a) a hipotenusa e (b) da área do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá as medidas dos catetos e um erro máximo em cada uma e pede uma aproximação do erro máximo no valor calculado de (a) hipotenusa e (b) área. Dados relevantes:
Perguntas que temos de responder:
(a) aproximar o erro máximo em , onde
é a hipotenusa; (b) aproximar o erro máximo em
, a área do triângulo.
(a) aproximar o erro máximo em
Passo 2
Ideia usada: diferenciais (aproximação linear). Se uma quantidade depende de variáveis medidas com pequenos erros, podemos aproximar a variação da quantidade usando derivadas parciais. Para uma função de duas variáveis
a variação aproximada é
Isto vem da expansão linear (primeiro termo da série de Taylor). As derivadas parciais representam a sensibilidade de
a pequenas mudanças em
e em
. Para estimar o erro máximo absoluto, tomamos os sinais de
e
que maximizem
(normalmente ambos com o mesmo sinal para somar contribuições).
Passo 3
Aplicando a técnica à hipotenusa. Definimos
Calculamos as derivadas parciais (usando regra da cadeia):
Logo a diferencial é
Passo 4
Substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos
com as medidas dadas (teorema de Pitágoras):
Agora usamos
. Para obter o erro máximo aproximado tomamos
e
com o mesmo sinal positivo, assim:
Calcule passo a passo:
Passo 5
Agora para a área. A área do triângulo retângulo é
As derivadas parciais são
portanto a diferencial é
Passo 6
Substituímos
,
e
. Para o erro máximo tomamos
com o mesmo sinal:
Calcule passo a passo: