Os catetos de um triângulo retângulo foram medidos como tendo 3 cm e 4 cm , com um erro máximo de 0,05 \mathrm{~cm} em cada medida. Use diferenciais para aproximar o erro possível máximo no valor calculado de (a) a hipotenusa e (b) da área do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá as medidas dos catetos e um erro máximo em cada uma e pede uma aproximação do erro máximo no valor calculado de (a) hipotenusa e (b) área. Dados relevantes:
a=3\\ \text{cm},\qquad b=4\\ \text{cm},
\lvert \mathrm{d}a\rvert \le 0,05\\ \text{cm},\qquad \lvert \mathrm{d}b\rvert \le 0,05\\ \text{cm}.
Perguntas que temos de responder:
(a) aproximar o erro máximo em c, onde c é a hipotenusa; (b) aproximar o erro máximo em A, a área do triângulo.

Passo 2

Ideia usada: diferenciais (aproximação linear). Se uma quantidade depende de variáveis medidas com pequenos erros, podemos aproximar a variação da quantidade usando derivadas parciais. Para uma função de duas variáveis f(a,b) a variação aproximada é
\mathrm{d}f \approx \frac{\partial f}{\partial a}\,\mathrm{d}a + \frac{\partial f}{\partial b}\,\mathrm{d}b.
Isto vem da expansão linear (primeiro termo da série de Taylor). As derivadas parciais representam a sensibilidade de f a pequenas mudanças em a e em b. Para estimar o erro máximo absoluto, tomamos os sinais de \mathrm{d}a e \mathrm{d}b que maximizem |\mathrm{d}f| (normalmente ambos com o mesmo sinal para somar contribuições).

Passo 3

Aplicando a técnica à hipotenusa. Definimos
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Calculamos as derivadas parciais (usando regra da cadeia):
\frac{\partial c}{\partial a}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{a}{c},\qquad \frac{\partial c}{\partial b}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{b}{c}.
Logo a diferencial é
\mathrm{d}c=\frac{a}{c}\,\mathrm{d}a+\frac{b}{c}\,\mathrm{d}b.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos c com as medidas dadas (teorema de Pitágoras):
c=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\ \text{cm}.
Agora usamos \lvert \mathrm{d}a\rvert=\lvert \mathrm{d}b\rvert=0,05\\ \text{cm}. Para obter o erro máximo aproximado tomamos \mathrm{d}a e \mathrm{d}b com o mesmo sinal positivo, assim:
\lvert \mathrm{d}c\rvert_{\max} \approx \frac{3}{5}\cdot 0,05+\frac{4}{5}\cdot 0,05.
Calcule passo a passo:
\frac{3}{5}\cdot 0,05 = 0,6\cdot 0,05 = 0,03,
\frac{4}{5}\cdot 0,05 = 0,8\cdot 0,05 = 0,04,
\lvert \mathrm{d}c\rvert_{\max} \approx 0,03+0,04=0,07\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora para a área. A área do triângulo retângulo é
A=\tfrac{1}{2}ab.
As derivadas parciais são
\frac{\partial A}{\partial a}=\frac{b}{2},\qquad \frac{\partial A}{\partial b}=\frac{a}{2},
portanto a diferencial é
\mathrm{d}A=\frac{b}{2}\,\mathrm{d}a+\frac{a}{2}\,\mathrm{d}b.

Passo 6

Substituímos a=3, b=4 e \lvert \mathrm{d}a\rvert=\lvert \mathrm{d}b\rvert=0,05. Para o erro máximo tomamos \mathrm{d}a,\mathrm{d}b com o mesmo sinal:
\lvert \mathrm{d}A\rvert_{\max} \approx \frac{4}{2}\cdot 0,05 + \frac{3}{2}\cdot 0,05.
Calcule passo a passo:
\frac{4}{2}\cdot 0,05 = 2\cdot 0,05 = 0,10,
\frac{3}{2}\cdot 0,05 = 1{,}5\cdot 0,05 = 0,075,
\lvert \mathrm{d}A\rvert_{\max} \approx 0,10+0,075=0,175\\ \text{cm}^{2}.

Resposta

0,07\\ \text{cm}
0,175\\ \text{cm}^{2}

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