O raio e a altura de um cone circular reto são medidos com erros de, no máximo, 1 \% e 4 \%, respectivamente. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no volume calculado.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime, usando diferenciais, o erro percentual máximo no volume de um cone circular reto quando o raio e a altura são medidos com erros de, no máximo, 1\% e 4\%, respectivamente. Informações relevantes dadas:
  • O erro percentual máximo no raio é 1\%.
  • O erro percentual máximo na altura é 4\%.
  • Queremos o erro percentual máximo aproximado no volume calculado pelo método das diferenciais.
  • Fórmula do volume do cone: V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h.

Passo 2

Explicando o método (de forma simples): usamos diferenciais para aproximar a variação pequena do volume dV quando o raio sofre um pequeno erro dr e a altura sofre um pequeno erro dh. A ideia é linearizar a função em torno das medidas verdadeiras: para pequenas variações,
dV \approx \frac{\partial V}{\partial r}\,dr + \frac{\partial V}{\partial h}\,dh.
Aqui dr e dh são as variações (erros absolutos) em r e h. Mais útil para percentuais é trabalhar com a variação relativa dV/V, que nos dá diretamente o erro percentual aproximado.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais da fórmula do volume. Começamos por escrever a função:
V(r,h)=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
Derivando em relação a r (tratando h como constante):
\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{1}{3}\pi\cdot 2r\cdot h=\frac{2}{3}\pi r h.
Derivando em relação a h (tratando r como constante):
\frac{\partial V}{\partial h}=\frac{1}{3}\pi r^{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula diferencial:
dV \approx \frac{2}{3}\pi r h\,dr + \frac{1}{3}\pi r^{2}\,dh.
Dividindo ambos os lados por V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h para obter a variação relativa:
\frac{dV}{V} \approx \frac{\frac{2}{3}\pi r h\,dr}{\frac{1}{3}\pi r^{2}h} + \frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}\,dh}{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}.
Simplificando cada razão:
\frac{dV}{V} \approx 2\frac{dr}{r} + \frac{dh}{h}.
Interpretação: a variação relativa do volume é cerca de duas vezes a variação relativa do raio mais a variação relativa da altura. Isso vem do fato de V depender de r ao quadrado.

Passo 5

Converter os erros percentuais dados em variações relativas numéricas:
  • Erro percentual máximo no raio 1\% significa \left|\dfrac{dr}{r}\right|\le 0,01.
  • Erro percentual máximo na altura 4\% significa \left|\dfrac{dh}{h}\right|\le 0,04.
Pelo desenvolvimento linear, para achar o erro percentual máximo aproximado no volume tomamos a soma dos módulos das contribuições (pior caso quando os sinais somam):
\left|\frac{dV}{V}\right|_{\max} \approx 2\cdot 0,01 + 0,04 = 0,06.
Convertendo para percentagem: 0,06 = 6\%.

Passo 6

Conclusão prática e observação: pelo método das diferenciais (linearização) o erro percentual máximo aproximado no volume é 6\%. Lembre-se que isto é uma aproximação válida para erros pequenos; a contribuição do raio aparece dobrada porque o volume depende de r^{2}. Você pode usar essa regra rápida em prova: para V\propto r^{2}h, o percentual aproximado é 2\% do erro em r mais 1\% do erro em h (onde “%” aqui indica multiplicar pelo erro relativo em decimal).

Resposta

6\%

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