O comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros de, no máximo, 3 \% e 5 \%, respectivamente. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo na área calculada.

Passo 1

O enunciado diz que o comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros máximos de 3\% e 5\%, respectivamente, e pede: usar diferenciais para aproximar o erro percentual máximo na área calculada.
Informações dadas:
  • erro percentual máximo no comprimento: 3\%;
  • erro percentual máximo na largura: 5\%;
  • queremos o erro percentual máximo aproximado na área do retângulo.

Passo 2

Vamos definir variáveis para ficar claro. Seja \ell o comprimento e w a largura do retângulo. A área é
A=\ell w.
Quando medimos \ell e w com pequenos erros, escrevemos variações pequenas como d\ell e dw. A ideia de diferenciais é aproximar a variação resultante de A por uma aproximação linear (a tangente) — isto é, usar dA para aproximar a mudança em A quando \ell e w mudam pouco.

Passo 3

Calculamos a diferencial total de A usando derivadas parciais (ou a regra do produto). As derivadas parciais são
\frac{\partial A}{\partial \ell}=w,\qquad \frac{\partial A}{\partial w}=\ell.
Portanto a diferencial total é
dA = w\,d\ell + \ell\,dw.

Passo 4

Para transformar isso em erro relativo (percentual), dividimos por A=\ell w:
\frac{dA}{A}=\frac{w\,d\ell+\ell\,dw}{\ell w}=\frac{d\ell}{\ell}+\frac{dw}{w}.
Aqui \dfrac{dA}{A} é a variação fracionária (relativa) da área e \dfrac{d\ell}{\ell}, \dfrac{dw}{w} são as variações fracionárias de \ell e w.

Passo 5

Os erros percentuais máximos dados significam que
\left|\frac{d\ell}{\ell}\right|\le 0,03\quad\text{e}\quad \left|\frac{dw}{w}\right|\le 0,05.
Tomando valores máximos em módulo (pior caso), o erro percentual máximo relativo na área é aproximadamente
\left|\frac{dA}{A}\right|\le \left|\frac{d\ell}{\ell}\right|+\left|\frac{dw}{w}\right|\le 0,03+0,05=0,08.
Convertendo para porcentagem, isso é 8\%.

Passo 6

Interpretação final: usando diferenciais (aproximação linear), o erro percentual máximo esperado na área, devido aos erros nas medidas de comprimento e largura, é aproximadamente 8\%. É uma soma das porcentagens porque para produtos a variação relativa soma as variações relativas das partes.

Resposta

8\%

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