O comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros de, no máximo, 3 \% e 5 \%, respectivamente. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo na área calculada.
Passo 1
O enunciado diz que o comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros máximos de 3\% e 5\%, respectivamente, e pede: usar diferenciais para aproximar o erro percentual máximo na área calculada.
Informações dadas:
erro percentual máximo no comprimento: 3\%;
erro percentual máximo na largura: 5\%;
queremos o erro percentual máximo aproximado na área do retângulo.
Passo 2
Vamos definir variáveis para ficar claro. Seja \ell o comprimento e w a largura do retângulo. A área é
A=\ell w.
Quando medimos \ell e w com pequenos erros, escrevemos variações pequenas como d\ell e dw. A ideia de diferenciais é aproximar a variação resultante de A por uma aproximação linear (a tangente) — isto é, usar dA para aproximar a mudança em A quando \ell e w mudam pouco.
Passo 3
Calculamos a diferencial total de A usando derivadas parciais (ou a regra do produto). As derivadas parciais são
Interpretação final: usando diferenciais (aproximação linear), o erro percentual máximo esperado na área, devido aos erros nas medidas de comprimento e largura, é aproximadamente 8\%. É uma soma das porcentagens porque para produtos a variação relativa soma as variações relativas das partes.