Obtenha a matriz de ganho K tal que o sistema exiba uma resposta deadbeat. Utilize os três métodos para obter K.
Solução: K=[lll-0,5 & 3,125 & -2,625]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está na área de Controle de Sistemas Lineares, especificamente trabalhando com equações de estado. A gente precisa encontrar a matriz de ganhoK que vai fazer o sistema ter uma resposta do tipo deadbeat, ou seja, uma resposta que atinja o estado desejado em um número mínimo de passos sem oscilações. Para isso, vamos usar três métodos diferentes de projeto de controlador para determinar a matriz K.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma resposta deadbeat. Em termos simples, uma resposta deadbeat significa que o sistema alcança seu estado estacionário em um número finito de passos de tempo, sem oscilações intermediárias. Para conseguir isso, precisamos alocar os pólos do sistema de forma que todas as raízes da equação característica estejam na origem ou próximas dela, garantindo assim a rapidez e estabilidade da resposta.
Passo 3
Vamos começar pelo Primeiro Método: o Lugar dos Pólos. Nesse método, escolhemos os pólos desejados para o sistema fechado e então ajustamos a matriz de ganho K para que o sistema tenha esses pólos. Como queremos uma resposta deadbeat, escolhemos os pólos todos em zero.
A equação do sistema fechado fica:
Acl = A - BK
Queremos que os pólos de Acl sejam todos iguais a zero. Com as matrizes dadas:
No Segundo Método, usamos a Equação Característica. A equação característica do sistema fechado é obtida determinando o determinante de Acl - lambda I igual a zero. Como queremos que todos os pólos sejam zero, a equação característica será lambda^3 = 0.
Configurando:
det(A - BK - lambda I) = lambda^3 = 0
Resolvendo essa equação com as matrizes dadas, chegamos novamente à matriz de ganho:
K = -0,5 & 3,125 & -2,625
Passo 5
O Terceiro Método envolve o uso de Polos Múltiplos e a Lei de Controle Estadual. Aqui, consideramos que queremos que o sistema tenha múltiplos pólos no mesmo local, ou seja, todos no zero para uma resposta deadbeat. Aplicamos a lei de controle estatal $ u(k) = -\mathbf{K}\mathbf{x}(k) $ e ajustamos u(k) = -Kx(k) de forma que a matriz K tenha a estrutura desejada com todos os pólos em zero.
Após realizar os cálculos necessários, obtemos novamente:
Acl
Resposta
A matriz de ganho K que garante uma resposta deadbeat no sistema é: