Y(z)U(z)=z+0,8z^2+1,3 z+0,4
Solução: Sistema completamente controlável e não completamente observável.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o sistema que a gente tem aqui. A função de transferência dada é:
Y(z)U(z) = z + 0,8z^2 + 1,3 z + 0,4
O que a gente precisa fazer é verificar se esse sistema é completamente controlável e observável. Para isso, vamos converter essa função de transferência para uma representação no espaço de estados e depois analisar as matrizes de controlabilidade e observabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função de transferência para a forma de espaço de estados. A função de transferência geral é:
Y(z)U(z) = b1 z + b0z^2 + a1 z + a0
Comparando com a nossa função, temos:
a1 = 1,3; a0 = 0,4; b1 = 1; b0 = 0,8
A partir disso, podemos escrever as equações do espaço de estados assim:
x1(k+1) = -1,3 x1(k) - 0,4 x2(k) + 1,8 u(k) x2(k+1) = x1(k) y(k) = x1(k)
Isso nos dá as matrizes:
A = -1,3 & -0,4 1 & 0 , B = 1,8 0 , C = 1 & 0

Passo 3

Agora, vamos verificar a controlabilidade do sistema. Para isso, usamos a matriz de controlabilidade C:
C = [B AB]
Primeiro, calculamos AB:
AB = A cdot B = -1,3 & -0,4 1 & 0 cdot 1,8 0 = -2,34 1,8
Então, a matriz de controlabilidade fica:
C = 1,8 & -2,34 0 & 1,8
Para saber se o sistema é completamente controlável, precisamos que essa matriz tenha posto completo, ou seja, igual ao número de estados do sistema (que aqui é 2).
Calculando o determinante de C:
det(C) = (1,8)(1,8) - (-2,34)(0) = 3,24 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, a matriz C tem posto completo. Portanto, o sistema é completamente controlável.

Passo 4

Agora, vamos ver a observabilidade do sistema usando a matriz de observabilidade O:
O = C CA
Primeiro, calculamos CA:
CA = C cdot A = 1 & 0 cdot -1,3 & -0,4 1 & 0 = -1,3 & -0,4
Então, a matriz de observabilidade fica:
O = 1 & 0 -1,3 & -0,4
Calculando o determinante de O:
det(O) = (1)(-0,4) - (0)(-1,3) = -0,4 neq 0
Como o determinante também é diferente de zero, a matriz O tem posto completo. Logo, o sistema é completamente observável.

Resposta

Depois de analisar, concluímos que o sistema é completamente controlável e completamente observável.

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