Resolva as equações a diferenças a seguir utilizando a transformada
:
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente tem uma equação de diferenças, que é tipo uma equação que relaciona termos de uma sequência. Aqui, a equação é
com as condições iniciais
e
. Vamos resolver isso usando a Transformada Z, que é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada Z em ambos os lados da equação. Sabemos que a Transformada Z de
é
. Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos substituir as transformadas individuais usando as condições iniciais
e
:
Como
e
, simplificamos:
Passo 4
Vamos reunir os termos que contêm
:
Fatorando
:
Então, isolamos
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a inversa da Transformada Z para descobrir
. Para isso, fatoramos o denominador:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Chamamos essas raízes de
e
. Então, podemos escrever
como:
Aplicando a decomposição em frações parciais e invertendo a Transformada Z, obtemos:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução da equação é
.