Resolva as equações a diferenças a seguir utilizando a transformada mathscrZ :
(a) x(k+2)=x(k+1)+x(k), x(0)=0, x(1)=1

Passo 1

Então, a gente tem uma equação de diferenças, que é tipo uma equação que relaciona termos de uma sequência. Aqui, a equação é com as condições iniciais e . Vamos resolver isso usando a Transformada Z, que é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada Z em ambos os lados da equação. Sabemos que a Transformada Z de mathscrZx(k+2) = mathscrZx(k+1) + mathscrZx(k) é . Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos substituir as transformadas individuais usando as condições iniciais z^2 X(z) - z x(0) - x(1) = z X(z) - x(0) + X(z) e z^2 X(z) - 1 = z X(z) + X(z) :
Como e , simplificamos:

Passo 4

Vamos reunir os termos que contêm z^2 X(z) - z X(z) - X(z) = 1 :
X(z) (z^2 - z - 1) = 1
Fatorando X(z) = 1z^2 - z - 1 :
Então, isolamos :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a inversa da Transformada Z para descobrir z^2 - z - 1 = 0 . Para isso, fatoramos o denominador:
z = 1 pm raiz52
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
X(z) = 1(z - alpha)(z - beta)
Chamamos essas raízes de x(k) = A alpha^k + B beta^k e . Então, podemos escrever como:
Aplicando a decomposição em frações parciais e invertendo a Transformada Z, obtemos:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução da equação é .

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