Se
, então podemos afirmar que
ou
? Exemplifique.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a igualdade entre matrizes
e : (produto matricial é a matriz nula). - Pergunta se, a partir disso, podemos concluir que necessariamente
ou .
Observação clara: não há nenhuma hipótese extra no enunciado (por exemplo, queou sejam invertíveis ou que sejam escalares). Precisamos decidir se a conclusão é verdadeira em geral e, se não, fornecer um contraexemplo e explicar por quê.
Passo 2
Intuição e comparação com números escalares (para motivar):
- Para números reais (ou complexos) vale: se
então ou . Isso ocorre porque os escalares formam um domínio íntegro (não têm divisores de zero). - Matrizes, porém, não formam um domínio íntegro em geral: existem “divisores de zero”, isto é, matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero.
Portanto a expectativa é que, em geral, a resposta seja “não” — convém dar um contraexemplo explícito.
Passo 3
Construindo um contraexemplo concreto (2×2 muito simples):
Escolher duas matrizes não nulas que ao multiplicar deem a matriz zero. Considere
Escolher duas matrizes
Agora calculamos o produto
passo a passo pelo produto linha × coluna:
- Entrada (1,1) de
: . - Entrada (1,2) de
: . - Entrada (2,1) de
: . - Entrada (2,2) de
: .
Assim
Passo 4
Verificar que
e
são de fato não nulas:
-
tem entrada no lugar , logo . -
tem entrada no lugar , logo .
Portanto temos um exemplo explícito de matrizes não nulas com produto nulo, mostrando que a afirmação "seentão ou " é falsa em geral.
Passo 5
Explicação conceitual (o que está acontecendo):
- Pense em matrizes como operadores lineares. A condição
significa que a composição "primeiro aplica , depois aplica " é a aplicação nula. - Isso pode ocorrer perfeitamente quando a imagem (coluna espaço) de
está contida no núcleo de . Ou seja, todo vetor que produz é aniquilado por . Assim e podem ser ambos não nulos, mas sua composição é zero. - No contraexemplo dado, a imagem de
é múltiplo do vetor , e esse vetor está no núcleo de (porque anula a segunda coordenada).]
Passo 6
Quando a implicação seria verdadeira (condições suficientes):
- Se
for invertível (ou seja, existe ), então de segue multiplicando à esquerda por que
Logo, se
é invertível então
implica
.
- Analogamente, se
for invertível, implica . - Portanto a falha da implicação geral vem justamente da possibilidade de
ou não serem invertíveis (terem núcleo não trivial), permitindo que a imagem de um caia no núcleo do outro.
Passo 7
Resumo e conclusão final (motivação para prova):
- A conclusão geral é negativa: não se pode afirmar que
ou apenas sabendo . - Sempre que vir um enunciado assim numa prova, pense: há hipóteses extras (invertibilidade, determinante não nulo, dimensão/ posto etc.)? Se houver, use-as; se não houver, procure um contraexemplo simples como o apresentado.
- Força aí — dar um contraexemplo e explicar a ideia da imagem dentro do núcleo é a forma típica de responder essa questão numa prova.
Resposta
Não. Exemplo:
e
têm
mas
e
.]