Se A \cdot B=O, então podemos afirmar que A=O ou B=O ? Exemplifique.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a igualdade entre matrizes A e B: \;A\cdot B = O\; (produto matricial é a matriz nula).
  • Pergunta se, a partir disso, podemos concluir que necessariamente \;A = O\; ou \;B = O\;.
    Observação clara: não há nenhuma hipótese extra no enunciado (por exemplo, que A ou B sejam invertíveis ou que sejam escalares). Precisamos decidir se a conclusão é verdadeira em geral e, se não, fornecer um contraexemplo e explicar por quê.

Passo 2

Intuição e comparação com números escalares (para motivar):
  • Para números reais (ou complexos) vale: se a b = 0 então a=0 ou b=0. Isso ocorre porque os escalares formam um domínio íntegro (não têm divisores de zero).
  • Matrizes, porém, não formam um domínio íntegro em geral: existem “divisores de zero”, isto é, matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero.
    Portanto a expectativa é que, em geral, a resposta seja “não” — convém dar um contraexemplo explícito.

Passo 3

Construindo um contraexemplo concreto (2×2 muito simples):
Escolher duas matrizes 2\times2 não nulas que ao multiplicar deem a matriz zero. Considere
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora calculamos o produto A\cdot B passo a passo pelo produto linha × coluna:
  • Entrada (1,1) de AB: 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Entrada (1,2) de AB: 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0.
  • Entrada (2,1) de AB: 0\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Entrada (2,2) de AB: 0\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0.
Assim
A\cdot B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=O.]

Passo 4

Verificar que A e B são de fato não nulas:
  • A tem entrada 1 no lugar (1,1), logo A\neq O.
  • B tem entrada 1 no lugar (2,1), logo B\neq O.
    Portanto temos um exemplo explícito de matrizes não nulas com produto nulo, mostrando que a afirmação "se AB=O então A=O ou B=O" é falsa em geral.

Passo 5

Explicação conceitual (o que está acontecendo):
  • Pense em matrizes como operadores lineares. A condição A B = O significa que a composição "primeiro aplica B, depois aplica A" é a aplicação nula.
  • Isso pode ocorrer perfeitamente quando a imagem (coluna espaço) de B está contida no núcleo de A. Ou seja, todo vetor que B produz é aniquilado por A. Assim A e B podem ser ambos não nulos, mas sua composição é zero.
  • No contraexemplo dado, a imagem de B é múltiplo do vetor \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}, e esse vetor está no núcleo de A (porque A anula a segunda coordenada).]

Passo 6

Quando a implicação seria verdadeira (condições suficientes):
  • Se A for invertível (ou seja, existe A^{-1}), então de A B = O segue multiplicando à esquerda por A^{-1} que
B = A^{-1} (A B) = A^{-1} O = O.
Logo, se A é invertível então AB=O implica B=O.
  • Analogamente, se B for invertível, AB=O implica A=O.
  • Portanto a falha da implicação geral vem justamente da possibilidade de A ou B não serem invertíveis (terem núcleo não trivial), permitindo que a imagem de um caia no núcleo do outro.

Passo 7

Resumo e conclusão final (motivação para prova):
  • A conclusão geral é negativa: não se pode afirmar que A=O ou B=O apenas sabendo A B = O.
  • Sempre que vir um enunciado assim numa prova, pense: há hipóteses extras (invertibilidade, determinante não nulo, dimensão/ posto etc.)? Se houver, use-as; se não houver, procure um contraexemplo simples como o apresentado.
  • Força aí — dar um contraexemplo e explicar a ideia da imagem dentro do núcleo é a forma típica de responder essa questão numa prova.

Resposta

Não. Exemplo: A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} têm A\cdot B=O mas A\neq O e B\neq O.]

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