Sendo a matriz A=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & c \\\\ 3 & 4 & y \\\\ 0 & 2 & 3\end{array}\right] simétrica, determine c e y.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 3 & c \\[4pt] 3 & 4 & y \\[4pt] 0 & 2 & 3\end{pmatrix}
e pede para determinar os valores de c e y sabendo que a matriz A é simétrica.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos da primeira linha são: a_{11}=2, a_{12}=3, a_{13}=c.
  • Os elementos da segunda linha são: a_{21}=3, a_{22}=4, a_{23}=y.
  • Os elementos da terceira linha são: a_{31}=0, a_{32}=2, a_{33}=3.
  • A condição: a matriz é simétrica (implica relações entre elementos fora da diagonal).]

Passo 2

Definição e ideia-chave (mini-aula): uma matriz quadrada A é simétrica se valer
A^{T}=A.
Isso significa, em termos de entradas, que para todo i e j vale
a_{ij}=a_{ji}.
Aqui a_{ij} denota o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna. Em palavras: cada elemento acima da diagonal principal deve ser igual ao elemento simétrico correspondente abaixo da diagonal.

Passo 3

Aplicando a definição ao par de posições (1,3) e (3,1):
O elemento (1,3) é a_{13}=c (peguei isso da matriz dada).
O elemento (3,1) é a_{31}=0 (peguei isso da matriz dada).
Pela simetria deve ocorrer
a_{13}=a_{31}.
Portanto
c=0.

Passo 4

Aplicando a definição ao par de posições (2,3) e (3,2):
O elemento (2,3) é a_{23}=y (peguei isso da matriz dada).
O elemento (3,2) é a_{32}=2 (peguei isso da matriz dada).
Pela simetria deve ocorrer
a_{23}=a_{32}.
Portanto
y=2.

Passo 5

Verificação rápida (confirmação): o par (1,2) e (2,1) já dá a_{12}=3 e a_{21}=3, que coincidem, então não há inconsistência com a simetria após substituir c e y.
Também é útil escrever a matriz final substituída para ver que ela ficou simétrica:
A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 0 \\[4pt] 3 & 4 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & 3\end{pmatrix},
e de fato a_{ij}=a_{ji} para todos os i,j.]

Resposta

c=0
y=2

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