(CEAGESP, 2010) O módulo de elasticidade de um material metálico é obtido por meio do ensaio de tração de um corpo de prova, que fornece uma indicação da rigidez do material e depende das forças de ligação interatômicas. Ele é determinado pelo quociente ou alongamento específico na região linear do diagrama tensão-deformação. O módulo de elasticidade é:
a) diretamente proporcional à deformação.
b) transversal e corresponde à metade do módulo de elasticidade volumétrico.
c) menor para metais com temperaturas de fusão elevadas.
d) independente da direção de aplicação da tensão nos eixos cristalográficos.
e) inversamente proporcional à temperatura do material.
a) diretamente proporcional à deformação.
b) transversal e corresponde à metade do módulo de elasticidade volumétrico.
c) menor para metais com temperaturas de fusão elevadas.
d) independente da direção de aplicação da tensão nos eixos cristalográficos.
e) inversamente proporcional à temperatura do material.
Passo 1
O enunciado pergunta qual alternativa descreve corretamente o módulo de elasticidade, e nos dá a definição principal: o módulo de elasticidade é obtido pelo quociente (ou alongamento específico) na região linear do diagrama tensão–deformação. As alternativas são:
a) diretamente proporcional à deformação.
b) transversal e corresponde à metade do módulo de elasticidade volumétrico.
c) menor para metais com temperaturas de fusão elevadas.
d) independente da direção de aplicação da tensão nos eixos cristalográficos.
e) inversamente proporcional à temperatura do material.
a) diretamente proporcional à deformação.
b) transversal e corresponde à metade do módulo de elasticidade volumétrico.
c) menor para metais com temperaturas de fusão elevadas.
d) independente da direção de aplicação da tensão nos eixos cristalográficos.
e) inversamente proporcional à temperatura do material.
Passo 2
Vamos entender as grandezas envolvidas (isso é básico e essencial).
- Tensão: defina como a força aplicada por área. Em símbolos, a tensão é
e
onde
é a força (em N) e
é a área (em m
).
- Deformação (alongamento específico): é a mudança relativa de comprimento. Em símbolos, a deformação é
e
onde
é a variação de comprimento e
o comprimento original.
Essas definições permitem medir rigidez: quanto maior a tensão necessária para uma mesma deformação, mais “rígido” é o material.
Essas definições permitem medir rigidez: quanto maior a tensão necessária para uma mesma deformação, mais “rígido” é o material.
Passo 3
Agora a definição matemática do módulo de elasticidade (que o enunciado já indicou): na região linear do ensaio de tração vale a lei de Hooke linearizada,
onde
é o módulo de elasticidade (também chamado de módulo de Young). Reorganizando:
Interpretação prática:
é a inclinação (coeficiente angular) da reta tensão × deformação na região elástica linear. Se essa reta for mais inclinada, o material é mais rígido.
Passo 4
Analisando a alternativa (a): “diretamente proporcional à deformação.”
Se e, na região linear,
é proporcional a
, então
é a constante de proporcionalidade entre
e
. Isso significa que, dentro da região elástica,
é aproximadamente constante — não cresce com
. Dizer que
é “diretamente proporcional à deformação” implicaria
(ou seja,
varia quando
varia), o que contradiz a definição de módulo como constante na região linear. Portanto (a) está incorreta.
Se
Passo 5
Analisando a alternativa (b): “transversal e corresponde à metade do módulo de elasticidade volumétrico.”
Primeiro, o termo “transversal” é confuso: o módulo de Young descreve comportamento na direção do carregamento axial (não é tipicamente chamado de “transversal”). Segundo, existe uma relação conhecida entre os módulos em materiais elásticos isotrópicos: o módulo de Young , o módulo de cisalhamento
e o módulo volumétrico (bulk)
relacionam-se via a razão de Poisson
:
Primeiro, o termo “transversal” é confuso: o módulo de Young descreve comportamento na direção do carregamento axial (não é tipicamente chamado de “transversal”). Segundo, existe uma relação conhecida entre os módulos em materiais elásticos isotrópicos: o módulo de Young
e
Dessas fórmulas não vem nenhuma igualdade simples do tipo “Young = 1/2 \times K”. O módulo de Young não corresponde à metade do módulo volumétrico em geral. Portanto (b) está incorreta.
Passo 6
Analisando a alternativa (c): “menor para metais com temperaturas de fusão elevadas.”
A temperatura de fusão é um indicativo (grosseiro) da força das ligações atômicas: materiais com alto ponto de fusão costumam ter ligações interatômicas mais fortes e, geralmente, maior rigidez (maior ). Assim, a afirmação de que metais com temperaturas de fusão elevadas teriam
menor é contrária ao comportamento esperado. Logo (c) está incorreta.
A temperatura de fusão é um indicativo (grosseiro) da força das ligações atômicas: materiais com alto ponto de fusão costumam ter ligações interatômicas mais fortes e, geralmente, maior rigidez (maior
Passo 7
Analisando a alternativa (d): “independente da direção de aplicação da tensão nos eixos cristalográficos.”
Em materiais anisotrópicos (por exemplo, um cristal mono‑cristal), o módulo de elasticidade pode variar com a direção cristalográfica — isto é, depende da direção em que a tensão é aplicada. Em metais poli‑cristalinos bem processados, o comportamento médio pode ser aproximadamente isotrópico, mas não é uma propriedade universal independente da direção. Como a alternativa diz “independente” de forma absoluta, ela está incorreta, pois existem casos (cristais) em que
depende da direção. Portanto (d) está incorreta.
Em materiais anisotrópicos (por exemplo, um cristal mono‑cristal), o módulo de elasticidade pode variar com a direção cristalográfica — isto é,
Passo 8
Analisando a alternativa (e): “inversamente proporcional à temperatura do material.”
Fisicamente, quando a temperatura aumenta há maior agitação térmica dos átomos, aumento médio nas amplitudes de vibração e ligeiro aumento do espaçamento médio entre átomos; isso tende a reduzir a rigidez efetiva das ligações e, portanto, o módulo decresce com o aumento da temperatura. Em outras palavras,
diminui quando
aumenta. A expressão “inversamente proporcional” (
) é uma afirmação forte e estrita que nem sempre é quantitativamente exata em toda faixa de temperatura, mas qualitativamente a alternativa (e) captura corretamente a variação esperada:
decresce com
. Entre as opções dadas, (e) é a que representa corretamente a relação entre módulo e temperatura (com a compreensão de que é uma relação de decrescimento — no contexto de uma prova objetiva, esta é a escolha correta).
Fisicamente, quando a temperatura aumenta há maior agitação térmica dos átomos, aumento médio nas amplitudes de vibração e ligeiro aumento do espaçamento médio entre átomos; isso tende a reduzir a rigidez efetiva das ligações e, portanto, o módulo
Passo 9
Conclusão final: das alternativas apresentadas, a que melhor descreve o comportamento do módulo de elasticidade é a alternativa (e), pois o módulo geralmente diminui quando a temperatura aumenta.
Resposta
e) inversamente proporcional à temperatura do material.