(CEFET PR) A FACULDADE HIPOTENUSA dispõe de 13 professores de uma disciplina
, sendo que, desses, 9 são mestres e 4 são doutores. Para poder lançar no mercado um novo curso, são necessários 5 professores dessa disciplina X , dos quais pelo menos um deve ser doutor. De quantas maneiras podemos dispor esses professores para que se cumpra essa exigência?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos 13 professores da disciplina X – 9 mestres e 4 doutores – e queremos formar grupos de 5 professores, mas com a condição de ter pelo menos 1 doutor.
Conteúdo: combinatória (combinações sem repetição, números binomiais).
O que vamos precisar: a noção de “combinação” e da fórmula
Conteúdo: combinatória (combinações sem repetição, números binomiais).
O que vamos precisar: a noção de “combinação” e da fórmula
onde
(fatorial de
) é
.
Passo 2
Pra contar quantas seleções de 5 professores têm pelo menos 1 doutor, a ideia mais simples é usar o complemento:
- conto todas as formas de escolher 5 entre os 13 (sem restrição);
- tiro daí as formas em que não tem nenhum doutor (ou seja, só mestres).
Isso garante que sobra só quem tem ≥1 doutor.
Passo 3
Calcular todas as seleções de 5 em 13, isto é
.
Pela fórmula de combinação:
Pela fórmula de combinação:
Passo 4
Agora conto quantas seleções não têm doutor nenhum, ou seja, escolho 5 só entre os 9 mestres:
.
Passo 5
Para garantir “pelo menos 1 doutor”, faço
Resposta
O número de maneiras de escolher 5 professores com pelo menos um doutor é 1161.