(CEFET PR) A FACULDADE HIPOTENUSA dispõe de 13 professores de uma disciplina X , sendo que, desses, 9 são mestres e 4 são doutores. Para poder lançar no mercado um novo curso, são necessários 5 professores dessa disciplina X , dos quais pelo menos um deve ser doutor. De quantas maneiras podemos dispor esses professores para que se cumpra essa exigência?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos 13 professores da disciplina X – 9 mestres e 4 doutores – e queremos formar grupos de 5 professores, mas com a condição de ter pelo menos 1 doutor.
Conteúdo: combinatória (combinações sem repetição, números binomiais).
O que vamos precisar: a noção de “combinação” e da fórmula
C(n,k) = n!k!,(n-k)!
onde (fatorial de ) é .

Passo 2

Pra contar quantas seleções de 5 professores têm pelo menos 1 doutor, a ideia mais simples é usar o complemento:
  1. conto todas as formas de escolher 5 entre os 13 (sem restrição);
  2. tiro daí as formas em que não tem nenhum doutor (ou seja, só mestres).
    Isso garante que sobra só quem tem ≥1 doutor.

Passo 3

Calcular todas as seleções de 5 em 13, isto é C(13,5) = 13!5!,8! = 13 times 12 times 11 times 10 times 95 times 4 times 3 times 2 times 1 = 1287 .
Pela fórmula de combinação:

Passo 4

Agora conto quantas seleções não têm doutor nenhum, ou seja, escolho 5 só entre os 9 mestres: C(9,5) = 9!5!,4! = 9 times 8 times 7 times 6 times 55 times 4 times 3 times 2 times 1 = 126 .

Passo 5

Para garantir “pelo menos 1 doutor”, faço
total sem restrição - todas só de mestres = 1287 - 126 = 1161 çãó

Resposta

O número de maneiras de escolher 5 professores com pelo menos um doutor é 1161.

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