Um número natural é chamado de estranho se seus algarismos são todos distintos e nenhum deles é 0 e é chamado de belo se todos os seus algarismos são pares. Quantos são os números de quatro algarismos que são estranhos ou belos?
a) 24
b) 500
c) 3024
d) 3500
e) 3548
a) 24
b) 500
c) 3024
d) 3500
e) 3548
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem dois tipos de números de 4 dígitos:
- Estranhos: todos os dígitos são diferentes e nenhum é 0.
- Belos: todos os dígitos são pares (0,2,4,6,8), mas o primeiro não pode ser 0 pra manter 4 dígitos.
O que vamos usar é o Princípio da Inclusão-Exclusão:
|Estranhos ∪ Belos| = |Estranhos| + |Belos| – |Estranhos ∩ Belos|
|Estranhos ∪ Belos| = |Estranhos| + |Belos| – |Estranhos ∩ Belos|
Passo 2
Contar |Estranhos|:
- Temos 9 dígitos possíveis (1 a 9) e não repetimos.
- Número de maneiras: permutação de 9 elementos tomados 4 a 4:
Passo 3
Contar |Belos|:
- Dígitos pares = {0,2,4,6,8}.
- Primeiro dígito não pode ser 0 → 4 opções (2,4,6,8).
- Cada um dos outros 3 dígitos pode ser qualquer dos 5 pares (repetição permitida).
- Logo:
Passo 4
Contar |Estranhos ∩ Belos| (números que são ao mesmo tempo):
- Só podem usar dígitos pares diferentes e não podem usar 0 → conjunto {2,4,6,8}.
- São exatamente 4 dígitos distintos, então escolhemos e permutamos os 4 → 4! maneiras:
Passo 5
Aplicando Inclusão-Exclusão:
Resposta
3500