Resolva as integrais duplas:
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1 integralarcsin(x)^pi/2 l(e^cos y+1r),dy,dx. O conteúdo principal aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas e uso de substituição em integrais simples.

Passo 2

Vamos desenhar a região de integração. Para 0<= x<=1 e arcsin(x)<= y<= pi/2, temos y variando de 0 até pi/2 e, para cada y, x vai de 0 até sin(y). Assim podemos reescrever
integral0^1 integralarcsin(x)^pi/2 l(e^cos y+1r),dy,dx = integral0^pi/2 integral0^sin y l(e^cos y+1r),dx,dy

Passo 3

Como o integrando e^cos y+1 não depende de x, a integral interna em x dá simplesmente um fator sin y:
integral0^sin y l(e^cos y+1r),dx = l(e^cos y+1r)sin y
Portanto a integral torna-se
I = integral0^pi/2 l(e^cos y+1r)sin y,dy = integral0^pi/2 e^cos ysin y,dy + integral0^pi/2 sin y,dy

Passo 4

Para a primeira, fazemos u=cos y, du=-sin y,dy. Quando y=0, u=1; quando y=pi/2, u=0. Então
integral0^pi/2 e^cos ysin y,dy = integral1^0 e^u (-du) = integral0^1 e^u,du = e - 1
E para a segunda,
integral0^pi/2 sin y,dy = [-cos y]0^pi/2 = 1

Passo 5

Somando, temos I = (e-1)+1 = e.

Resposta

e

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