Calcule os limites
lim x 1 x^11-1x^5-x^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1dfracx^11-1x^5-x^4. O conteúdo principal envolve limites de funções racionais que dão forma indeterminada 0/0 e a técnica de fatoração de diferença de potências.

Passo 2

Usamos a fatoração de diferença de potências: para todo inteiro n, a^n - b^n = (a-b)(a^n-1 + a^n-2b + cdots + b^n-1). Assim,
x^11-1=(x-1)(1+x+x^2+dots+x^10)
Além disso, no denominador podemos fatorar em potência de x e diferença simples:
x^5-x^4=x^4(x-1)

Passo 3

Substituindo essas fatorações na expressão do limite, temos:
x^11-1x^5-x^4=(x-1)(1+x+dots+x^10)x^4(x-1)
No intervalo em torno de x=1 (exceto em x=1), podemos cancelar x-1 e obter:
1+x+dots+x^10x^4

Passo 4

Agora usamos a continuidade dos polinômios para substituir diretamente x=1: o numerador fica 1+1+dots+1 (11 termos) e o denominador fica 1^4=1.

Resposta

11

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