Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de e a da tartaruga é de 1,5 . A distância a percorrer é de 600 m , e a lebre corre durante antes de parar para uma soneca. Qual é a duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida? Resolva analiticamente e graficamente.
7. Um método possível para medir a aceleração da gravidade g consiste em lançar uma bolinha para cima num tubo onde se fez vácuo e medir com precisão os instantes t1 e t2 de passagem (na subida e na descida, respectivamente) por uma altura z conhecida, a partir do instante do lançamento. Mostre que: .
Passo 1
Beleza, temos aqui dois probleminhas de Física bem clássicos:
A corrida da lebre x tartaruga, que é um MRU (movimento retilíneo uniforme) com uma paradinha (soneca) da lebre. Precisamos achar o tempo máximo de cochilo pra lebre ainda vencer quem vai a 1,5 m/min.
A medida de g no vácuo, mostrando que
Para isso usaremos:
Fórmulas de MRU: .
Conversão de unidades (km/h ↔ m/min).
Gráfico de posição × tempo para cada um.
Equações do MUV (movimento uniformemente variado) sem resistência:
Bora lá resolver passo a passo.
Passo 2
(Parte 1: corrida)
Converter velocidades pra mesma unidade (metros e minutos):
Lebre:
Tartaruga: já é
Distância total
Sem soneca, lebre faz a prova em min. Tartaruga leva min.
Se a lebre cochila minutos, ela corre 0,5 min, para, depois corre o resto:
Trecho antes da soneca: m.
Parada: nenhum deslocamento.
Depois da soneca precisa fazer m a 500 m/min → tempo min.
Logo, tempo total da lebre = .
Para não perder, esse tempo ≤ 400 min da tartaruga.
Então
Passo 3
(Gráfico posição × tempo)
Eixo horizontal: tempo em minutos, eixo vertical: posição em metros.
Tartaruga: reta saindo de (0, 0) com inclinação .
Lebre:
a) de a 0,5 min, reta inclinada a .
b) de 0,5 a , linha horizontal em .
c) depois, outra reta inclinada a até .
A interseção da linha da tartaruga com a reta final da lebre ocorre em , . A distância horizontal entre 0,5 e esse ponto é exatamente , o que dá o cochilo máximo min.
Passo 4
(Parte 2: prova de )
Suponha que a bolinha sai com velocidade inicial de .
Na subida, passa pela altura em :
Na descida, passa de novo por em :
Subtraindo (1) de (2):
Como ,
Volta em (1):
Reorganizando,
Resposta
– Tempo máximo da soneca da lebre: 398,8 minutos.
– Fórmula da gravidade no tubo em vácuo: