Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de 30 km / h e a da tartaruga é de 1,5 m / min. A distância a percorrer é de 600 m , e a lebre corre durante 0,5 min antes de parar para uma soneca. Qual é a duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida? Resolva analiticamente e graficamente.
7. Um método possível para medir a aceleração da gravidade g consiste em lançar uma bolinha para cima num tubo onde se fez vácuo e medir com precisão os instantes t1 e t2 de passagem (na subida e na descida, respectivamente) por uma altura z conhecida, a partir do instante do lançamento. Mostre que:
.

Passo 1

Beleza, temos aqui dois probleminhas de Física bem clássicos:
  1. A corrida da lebre x tartaruga, que é um MRU (movimento retilíneo uniforme) com uma paradinha (soneca) da lebre. Precisamos achar o tempo máximo de cochilo pra lebre ainda vencer quem vai a 1,5 m/min.
  2. A medida de g no vácuo, mostrando que
g = 2,zt1,t2
Para isso usaremos:
  • Fórmulas de MRU: z = v0,t - tfrac12,g,t^2 .
  • Conversão de unidades (km/h ↔ m/min).
  • Gráfico de posição × tempo para cada um.
  • Equações do MUV (movimento uniformemente variado) sem resistência:
Bora lá resolver passo a passo.

Passo 2

(Parte 1: corrida)
  1. Converter velocidades pra mesma unidade (metros e minutos):
    • Lebre: 1,2 + s = 400 Longrightarrow s = 400 - 1,2 = 398,8 min
    • Tartaruga: já é
  2. Distância total
  3. Sem soneca, lebre faz a prova em min. Tartaruga leva min.
  4. Se a lebre cochila minutos, ela corre 0,5 min, para, depois corre o resto:
    • Trecho antes da soneca: m.
    • Parada: nenhum deslocamento.
    • Depois da soneca precisa fazer m a 500 m/min → tempo min.
  5. Logo, tempo total da lebre = .
    Para não perder, esse tempo ≤ 400 min da tartaruga.
    Então

Passo 3

(Gráfico posição × tempo)
  • Eixo horizontal: tempo em minutos, eixo vertical: posição em metros.
  • Tartaruga: reta saindo de (0, 0) com inclinação .
  • Lebre:
    a) de a 0,5 min, reta inclinada a .
    b) de 0,5 a , linha horizontal em .
    c) depois, outra reta inclinada a até .
  • A interseção da linha da tartaruga com a reta final da lebre ocorre em , . A distância horizontal entre 0,5 e esse ponto é exatamente , o que dá o cochilo máximo min.

Passo 4

(Parte 2: prova de z = v0,t1 - tfrac12,g,t1^2 tag1 )
Suponha que a bolinha sai com velocidade inicial z = v0,t2 - tfrac12,g,t2^2 tag2 de 0 = v0(t2 - t1) ;-;tfrac12,g,(t2^2 - t1^2) = (t2 - t1)l[v0 - tfrac12,g,(t2 + t1)r] .
  • Na subida, passa pela altura v0 = tfrac12,g,(t1 + t2) em z = l(tfrac12,g,(t1 + t2)r)!t1 ;-;tfrac12,g,t1^2 = tfrac12,g,(t1^2 + t1t2 - t1^2) = tfrac12,g,t1,t2 : g = 2,zt1,t2
  • Na descida, passa de novo por em :
Subtraindo (1) de (2):
Como ,
Volta em (1):
Reorganizando,

Resposta

– Tempo máximo da soneca da lebre: 398,8 minutos.
– Fórmula da gravidade no tubo em vácuo:
boxedg = 2,zt1,t2

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