Uma partícula de massa m, que se desloca na direção x, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre x=0 e x=L. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
psi(x)= raiz2L sin (n pi xL) & (0L)
com autovalores de energia
En=n^2 pi^2 hbar^22 m L^2 n=1,2,3, ldots
Determine:
(a) Os valores médios da posição e do momentum, lang<= xrang<=n elang<= prang<=n, para seus autoestados estacionários de energia;
(b) O autoestado estacionário que minimiza o produto das incertezas (De;
© A distribuição de probabilidades para os momenta;
(d) As probabilidades de ocorrência de cada autovalor de energia da partícula;
(e) O estado da partícula em um instante de tempo qualquer t.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma partícula presa num poço infinito de 0 a . O enunciado pede cinco coisas:
(a) e nos autoestados estacionários;
(b) qual autoestado minimiza ;
© a distribuição de probabilidade no espaço dos momentos;
(d) as probabilidades de medir cada autovalor de energia;
(e) a forma do estado em tempo .
Para resolver isso vamos usar cálculo de integrais, propriedades de operadores (expectation values), transformação de Fourier e a evolução temporal simples de estados próprios de energia.

Passo 2

(a) Expectation values
  • Primeiro lembra que
psin(x)=raiztfrac2Lsin!l(tfracnpi xLr) (0
  1. lang<= xrang<=n =2Lintegral0^L x,sin^2!l(tfracnpi xLr)dx =L2, .
    Usando lang<= prang<=n=0, , dá
  2. .
    Como , sua derivada é , e a integral , resulta

Passo 3

(b) Incertezas e mínimo do produto
  1. De. Sabe-se que
    (De,
    então
  2. .
  3. O produto Calculando para vê-se que é mínimo em .

Passo 4

© Distribuição de momentum
A função de momento é a transformada de Fourier de phin(p) =1raiz2pihbar integral0^Lraiztfrac2Lsin!l(tfracnpi xLr) ,e^-ipx/hbardx :
phin(p) =raizLpihbar, npihbar(npihbar/L)^2-p^2 l[1-(-1)^n e^-ipL/hbarr],
Fazendo a integral (uso da identidade de senos e exponenciais) chega-se a
Pn(p)=l|phin(p)r|^2,
e a distribuição é
com picos centrados em .

Passo 5

(d) Probabilidades de autovalores de energia
Se o sistema está no autoestado P(Ek)=|lang<=psik|psinrang<=|^2 =de, a chance de medir é
ou seja, probabilidade 1 para e 0 para os outros.

Passo 6

(e) Estado em tempo psin(x,t) =psin(x),e^-iEn t/hbar =raiztfrac2Lsin!l(tfracnpi xLr), e^-i,n^2pi^2hbar t/(2mL^2)
Como é autoestado de energia , joga um fator de fase:

Resposta

(a) .
(b) mínimo de em .
© , com picos em .
(d) .
(e) .

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