Uma partícula de massa
, que se desloca na direção
, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre
e
. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
Determine:
(a) Os valores médios da posição e do momentum,
, para seus autoestados estacionários de energia;
(b) O autoestado estacionário que minimiza o produto das incertezas
;
© A distribuição de probabilidades para os momenta;
(d) As probabilidades de ocorrência de cada autovalor de energia da partícula;
(e) O estado da partícula em um instante de tempo qualquer
.
(a) Os valores médios da posição e do momentum,
(b) O autoestado estacionário que minimiza o produto das incertezas
© A distribuição de probabilidades para os momenta;
(d) As probabilidades de ocorrência de cada autovalor de energia da partícula;
(e) O estado da partícula em um instante de tempo qualquer
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma partícula presa num poço infinito de 0 a
. O enunciado pede cinco coisas:
(a) e
nos autoestados estacionários;
(b) qual autoestado minimiza ;
© a distribuição de probabilidade no espaço dos momentos;
(d) as probabilidades de medir cada autovalor de energia;
(e) a forma do estado em tempo .
Para resolver isso vamos usar cálculo de integrais, propriedades de operadores (expectation values), transformação de Fourier e a evolução temporal simples de estados próprios de energia.
(a)
(b) qual autoestado minimiza
© a distribuição de probabilidade no espaço dos momentos;
(d) as probabilidades de medir cada autovalor de energia;
(e) a forma do estado em tempo
Para resolver isso vamos usar cálculo de integrais, propriedades de operadores (expectation values), transformação de Fourier e a evolução temporal simples de estados próprios de energia.
Passo 2
(a) Expectation values
- Primeiro lembra que
-
.
Usando, dá -
.
Como, sua derivada é , e a integral , resulta
Passo 3
(b) Incertezas e mínimo do produto
-
. Sabe-se que
,
então -
. - O produto
Calculando para vê-se que é mínimo em .
Passo 4
© Distribuição de momentum
A função de momento é a transformada de Fourier de :
A função de momento é a transformada de Fourier de
Fazendo a integral (uso da identidade de senos e exponenciais) chega-se a
e a distribuição é
com picos centrados em
.
Passo 5
(d) Probabilidades de autovalores de energia
Se o sistema está no autoestado P(Ek)=|lang<=psik|psinrang<=|^2 =de , a chance de medir
é
Se o sistema está no autoestado
ou seja, probabilidade 1 para
e 0 para os outros.
Passo 6
(e) Estado em tempo
psin(x,t) =psin(x),e^-iEn t/hbar =raiztfrac2Lsin!l(tfracnpi xLr), e^-i,n^2pi^2hbar t/(2mL^2)
Como é autoestado de energia
, joga um fator de fase:
Como
Resposta
(a)
.
(b) mínimo de em
.
© ,
com picos em
.
(d) .
(e) .
(b) mínimo de
©
(d)
(e)