Uma célula de produção afirma que o tempo médio de ciclo de um componente é de 5 minutos. Uma amostra de 40 medições apresentou média de 5,3 \mathrm{~min} e desvio padrão conhecido de 0,8 \mathrm{~min}. Teste a hipótese a 5 \% de significância.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: tempo médio afirmado pela célula de produção \mu_0 = 5 minutos.
  • Informação: tamanho da amostra n = 40.
  • Informação: média amostral \bar{x} = 5,3 minutos.
  • Informação: desvio padrão populacional conhecido \sigma = 0,8 minutos.
  • Informação: nível de significância \alpha = 0,05.
  • Pergunta: testar a hipótese (ou seja, decidir se há evidência para discordar da afirmação de que a média é 5 minutos) a 5\% de significância.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (como o enunciado afirma um valor específico, o teste natural é bilateral):
H_0:\\ \mu = 5
H_1:\\ \mu \neq 5
Aqui \mu é a média verdadeira do tempo de ciclo do componente. O objetivo é usar os dados da amostra para decidir entre H_0 e H_1 ao nível \alpha=0,05.

Passo 3

Escolha do teste e a estatística de teste — explicando didaticamente:
  • Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, usamos o teste z (teste para a média com desvio conhecido). É apropriado mesmo quando n é moderadamente grande; aqui n=40 é suficientemente grande.
  • A estatística de teste padroniza a diferença entre a média amostral e o valor hipotetizado usando o erro-padrão da média. A fórmula é:
Z \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui 5,3),
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui 5),
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui 0,8),
  • n é o tamanho da amostra (aqui 40).
    Sob H_0, Z segue aproximadamente a distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 4

Calcule passo a passo o erro-padrão e a estatística Z.
  • Primeiro a raiz de n:
\sqrt{n}=\sqrt{40}\approx 6,3246.
  • Depois o erro-padrão da média:
\text{erro-padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,8}{6,3246}\approx 0,12649.ã
  • Diferença entre média amostral e a média hipotetizada:
\bar{x}-\mu_0 = 5,3-5 = 0,3.
  • Agora a estatística Z:
Z=\frac{0,3}{0,12649}\approx 2,3717\approx 2,372.
Interpretação: o valor observado da média está 2,372 desvios-padrão acima do valor hipotetizado.

Passo 5

Regra de decisão bilateral e comparação com valor crítico:
  • Para um teste bilateral com \alpha=0,05, os pontos críticos da normal padrão são \pm z_{1-\alpha/2} = \pm z_{0,975}.
z_{0,975}\approx 1,96.
  • Região crítica: rejeitar H_0 se |Z| > 1,96.
Comparando:
|Z| = 2,372 > 1,96.
Logo, a estatística cai na região crítica e rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.

Passo 6

Cálculo do p-valor e interpretação (o p-valor mostra a força da evidência):
  • Para teste bilateral, o p-valor é
\text{p-valor} = 2\bigl(1-\Phi(|Z|)\bigr)
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Usando |Z|=2,3717 e tabela/valores da normal padrão:
\Phi(2,3717)\approx 0,9911.
  • Portanto
\text{p-valor} \approx 2(1-0,9911)=2(0,0089)=0,0178.
Interpretação do p-valor: sob H_0 a probabilidade de observar uma média tão ou mais extrema que a obtida é cerca de 0,0178, ou seja 1,78\%. Como 0,0178<0,05, é uma evidência estatística significativa contra H_0.

Passo 7

Conclusão prática e explicação final — linguagem amigável:
  • Resultado técnico: rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Há evidência estatística de que a média do tempo de ciclo difere de 5 minutos.
  • Em termos práticos: a amostra sugere que o tempo médio não é 5 minutos — a média observada 5,3 é suficientemente alta para considerar que a afirmação da célula (de 5 minutos) provavelmente não seja correta.
  • Ânimo: isso significa que, para a prova, você deve lembrar: quando \sigma é conhecido usa-se o teste Z; calcule erro-padrão, padronize para obter Z, compare com \pm z_{1-\alpha/2} para teste bilateral e/ou calcule p-valor para quantificar a evidência.

Resposta

Rejeita H_0 ao nível de 5\% (estatística Z\approx 2,372, crítica \pm 1,96).
p-valor \approx 0,0178.

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