Uma célula de produção afirma que o tempo médio de ciclo de um componente é de 5 minutos. Uma amostra de 40 medições apresentou média de
e desvio padrão conhecido de
. Teste a hipótese a
de significância.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: tempo médio afirmado pela célula de produção
minutos. - Informação: tamanho da amostra
. - Informação: média amostral
minutos. - Informação: desvio padrão populacional conhecido
minutos. - Informação: nível de significância
. - Pergunta: testar a hipótese (ou seja, decidir se há evidência para discordar da afirmação de que a média é
minutos) a de significância.
Passo 2
Formulamos as hipóteses do teste (como o enunciado afirma um valor específico, o teste natural é bilateral):
Aqui
é a média verdadeira do tempo de ciclo do componente. O objetivo é usar os dados da amostra para decidir entre
e
ao nível
.
Passo 3
Escolha do teste e a estatística de teste — explicando didaticamente:
- Quando o desvio padrão populacional
é conhecido, usamos o teste (teste para a média com desvio conhecido). É apropriado mesmo quando é moderadamente grande; aqui é suficientemente grande. - A estatística de teste padroniza a diferença entre a média amostral e o valor hipotetizado usando o erro-padrão da média. A fórmula é:
onde:
-
é a média amostral (aqui ), -
é a média sob (aqui ), -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ), -
é o tamanho da amostra (aqui ).
Sob, segue aproximadamente a distribuição normal padrão .
Passo 4
Calcule passo a passo o erro-padrão e a estatística
.
- Primeiro a raiz de
:
- Depois o erro-padrão da média:
- Diferença entre média amostral e a média hipotetizada:
- Agora a estatística
:
Interpretação: o valor observado da média está
desvios-padrão acima do valor hipotetizado.
Passo 5
Regra de decisão bilateral e comparação com valor crítico:
- Para um teste bilateral com
, os pontos críticos da normal padrão são .
- Região crítica: rejeitar
se .
Comparando:
Logo, a estatística cai na região crítica e rejeitamos
ao nível de
.
Passo 6
Cálculo do p-valor e interpretação (o p-valor mostra a força da evidência):
- Para teste bilateral, o p-valor é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
- Usando
e tabela/valores da normal padrão:
- Portanto
Interpretação do p-valor: sob
a probabilidade de observar uma média tão ou mais extrema que a obtida é cerca de
, ou seja
. Como
, é uma evidência estatística significativa contra
.
Passo 7
Conclusão prática e explicação final — linguagem amigável:
- Resultado técnico: rejeitamos
ao nível de . Há evidência estatística de que a média do tempo de ciclo difere de minutos. - Em termos práticos: a amostra sugere que o tempo médio não é
minutos — a média observada é suficientemente alta para considerar que a afirmação da célula (de minutos) provavelmente não seja correta. - Ânimo: isso significa que, para a prova, você deve lembrar: quando
é conhecido usa-se o teste ; calcule erro-padrão, padronize para obter , compare com para teste bilateral e/ou calcule p-valor para quantificar a evidência.
Resposta
Rejeita
ao nível de
(estatística
, crítica
).
p-valor .
p-valor