Em uma cidade, o jogo de basquete é jogado com regras diferentes. Existem apenas dois tipo de pontuações para as cestas: 5 e 11 pontos. É possível um time fazer 39 pontos em uma partida?
Passo 1
O enunciado diz que só existem cestas de
e
pontos. A pergunta é: existe uma combinação de números inteiros não negativos
e
tal que
Informações relevantes: os únicos valores possíveis por cesta são
e
;
é o número de cestas de
pontos (inteiro
);
é o número de cestas de
pontos (inteiro
). O objetivo é decidir se existe solução inteira não negativa para a equação acima.
Passo 2
Estratégia escolhida: resolver a equação diofantina linear
procurando soluções inteiras não negativas. Vou usar aritmética modular (uma ferramenta simples e direta aqui) para restringir
, depois parametrizar e ver se algum parâmetro produz
e
. Também comento a verificação via o teorema de Frobenius (Chicken McNuggets) como confirmação intuitiva.
Passo 3
Explicando aritmética modular (rapidinho e prático): dizer que dois números são congruentes módulo
significa que têm o mesmo resto ao dividir por
. Aqui é natural trabalhar módulo
porque um dos coeficientes é
. Observamos que
porque
é múltiplo de
. Agora reduzimos a equação original módulo
.
Passo 4
Aplicando a congruência à equação
: como
, passando tudo módulo
obtemos
Usando
e
(porque
), isso vira
logo
Isto significa que todo
inteiro que satisfaça a equação deve ter a forma
para algum inteiro
.
Passo 5
Vamos substituir
na equação original para encontrar
. Substituindo:
Calculemos passo a passo:
então
Isolando
:
Dividindo por
:
Passo 6
Agora impomos as condições de inteiros não negativos:
e
.
- De
segue
Como
é inteiro, isso implica
.
- De
segue
Como
é inteiro, isso implica
.
Portanto, para ter
precisamos de
, mas para ter
precisamos de
. Não existe inteiro
que satisfaça simultaneamente
e
. Logo não há escolha de
que torne ambos
e
não negativos.
Passo 7
Conclusão prática: não existe solução em inteiros não negativos para
. Em palavras: não é possível fazer
pontos apenas com cestas de
e
pontos.
Passo 8
Comentário extra (intuitivo): como verificação rápida,
, então pelo teorema de Frobenius para dois inteiros coprimos a maior quantidade impossível de representar como combinação não negativa de
e
é
Ou seja,
é exatamente o maior número que não pode ser formado — confirmação adicional de que
é impossível.
Resposta
Não —
não pode ser obtido como
com
inteiros não negativos.