Em uma cidade, o jogo de basquete é jogado com regras diferentes. Existem apenas dois tipo de pontuações para as cestas: 5 e 11 pontos. É possível um time fazer 39 pontos em uma partida?

Passo 1

O enunciado diz que só existem cestas de 5 e 11 pontos. A pergunta é: existe uma combinação de números inteiros não negativos x e y tal que
5x+11y=39?
Informações relevantes: os únicos valores possíveis por cesta são 5 e 11; x é o número de cestas de 5 pontos (inteiro \ge 0); y é o número de cestas de 11 pontos (inteiro \ge 0). O objetivo é decidir se existe solução inteira não negativa para a equação acima.

Passo 2

Estratégia escolhida: resolver a equação diofantina linear 5x+11y=39 procurando soluções inteiras não negativas. Vou usar aritmética modular (uma ferramenta simples e direta aqui) para restringir y, depois parametrizar e ver se algum parâmetro produz x\ge 0 e y\ge 0. Também comento a verificação via o teorema de Frobenius (Chicken McNuggets) como confirmação intuitiva.

Passo 3

Explicando aritmética modular (rapidinho e prático): dizer que dois números são congruentes módulo 5 significa que têm o mesmo resto ao dividir por 5. Aqui é natural trabalhar módulo 5 porque um dos coeficientes é 5. Observamos que
11 \equiv 1 \pmod{5}
porque 11-1=10 é múltiplo de 5. Agora reduzimos a equação original módulo 5.

Passo 4

Aplicando a congruência à equação 5x+11y=39: como 5x\equiv 0\pmod{5}, passando tudo módulo 5 obtemos
11y \equiv 39 \pmod{5}.
Usando 11\equiv 1\pmod{5} e 39\equiv 4\pmod{5} (porque 39=35+4), isso vira
1\cdot y \equiv 4 \pmod{5},
logo
y \equiv 4 \pmod{5}.
Isto significa que todo y inteiro que satisfaça a equação deve ter a forma
y=4+5k,
para algum inteiro k.

Passo 5

Vamos substituir y=4+5k na equação original para encontrar x. Substituindo:
5x+11(4+5k)=39.
Calculemos passo a passo:
11(4+5k)=44+55k,
então
5x+44+55k=39.
Isolando 5x:
5x=39-44-55k=-5-55k.
Dividindo por 5:
x=-1-11k.

Passo 6

Agora impomos as condições de inteiros não negativos: x\ge 0 e y\ge 0.
  • De x=-1-11k\ge 0 segue
-1-11k\ge 0 \Longrightarrow -11k\ge 1 \Longrightarrow k\le -\tfrac{1}{11}.
Como k é inteiro, isso implica k\le -1.
  • De y=4+5k\ge 0 segue
4+5k\ge 0 \Longrightarrow 5k\ge -4 \Longrightarrow k\ge -\tfrac{4}{5}.
Como k é inteiro, isso implica k\ge 0.
Portanto, para ter x\ge 0 precisamos de k\le -1, mas para ter y\ge 0 precisamos de k\ge 0. Não existe inteiro k que satisfaça simultaneamente k\le -1 e k\ge 0. Logo não há escolha de k que torne ambos x e y não negativos.

Passo 7

Conclusão prática: não existe solução em inteiros não negativos para 5x+11y=39. Em palavras: não é possível fazer 39 pontos apenas com cestas de 5 e 11 pontos.

Passo 8

Comentário extra (intuitivo): como verificação rápida, \gcd(5,11)=1, então pelo teorema de Frobenius para dois inteiros coprimos a maior quantidade impossível de representar como combinação não negativa de 5 e 11 é
5\cdot 11-5-11=55-16=39.
Ou seja, 39 é exatamente o maior número que não pode ser formado — confirmação adicional de que 39 é impossível.

Resposta

Não — 39 não pode ser obtido como 5x+11y com x,y inteiros não negativos.

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