Resolva as seguintes equações diofantinas:
8 X+7 Y=3.

Passo 1

O enunciado dá a equação linear
8X + 7Y = 3
e pede para encontrar todas as soluções inteiras (X,Y).
Informações relevantes: os coeficientes são 8 e 7 e o termo independente é 3. Queremos todos os pares (X,Y) com X,Y\in\mathbb{Z} que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro precisamos verificar se existe solução inteira. Uma condição básica (mostrarei por que funciona nas próximas linhas) é que a equação aX+bY=c tem solução inteira somente se \gcd(a,b) divide c. Então calculemos o máximo divisor comum de 8 e 7 usando o algoritmo de Euclides:
8 = 7\cdot1 + 1,
7 = 1\cdot7 + 0.
Daí vem que
\gcd(8,7)=1.

Passo 3

Como \gcd(8,7)=1 e 1 divide 3, a condição de existência é satisfeita. Logo existem soluções inteiras. Agora precisamos achar uma solução particular e, em seguida, a forma geral de todas as soluções.

Passo 4

Vamos obter uma combinação linear que produza o \gcd e depois multiplicá-la por 3 para obter o lado direito. Da linha do algoritmo de Euclides temos
1 = 8 - 7\cdot1.
Multiplicando ambos os lados por 3 obtemos
3 = 8\cdot3 - 7\cdot3.
Isso nos dá imediatamente uma solução particular:
X_0 = 3,\qquad Y_0 = -3,
pois 8\cdot 3 + 7\cdot(-3)=24-21=3. Sempre cheque: a substituição confirma que é uma solução.

Passo 5

Agora derivamos a forma geral das soluções. Se (X_0,Y_0) é uma solução de 8X+7Y=3 e d=\gcd(8,7)=1, então todas as soluções inteiras são dadas por
X = X_0 + \frac{b}{d}\,t,\qquad Y = Y_0 - \frac{a}{d}\,t,
onde t é um inteiro arbitrário. A razão: substituindo essas expressões na equação, os termos adicionais se cancelam porque
8\left(\frac{b}{d}t\right) + 7\left(-\frac{a}{d}t\right) = \frac{t}{d}(8b-7a)=0
quando d=\gcd(8,7) e a=8, b=7. Aqui d=1, então substituindo X_0=3 e Y_0=-3 obtemos a forma específica:
X = 3 + 7t,\qquad Y = -3 - 8t,\qquad t\in\mathbb{Z}.

Passo 6

É sempre bom testar alguns valores de t para ganhar confiança:
t=0 \Rightarrow (X,Y)=(3,-3),
t=1 \Rightarrow (X,Y)=(10,-11),
t=-1 \Rightarrow (X,Y)=(-4,5).
Em cada caso 8X+7Y volta a dar 3, como deve ser. Se quiser soluções com X e Y não-negativos, basta procurar inteiros t que façam ambos não-negativos (aqui parece não haver t que torne ambos não-negativos, mas isso você pode checar resolvendo desigualdades lineares simples).

Resposta

(X,Y)=(3+7t,\,-3-8t),\\ t\in\mathbb{Z}

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