Resolva as seguintes equações diofantinas:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação linear
e pede para encontrar todas as soluções inteiras
.
Informações relevantes: os coeficientes são e
e o termo independente é
. Queremos todos os pares
com
que satisfazem a equação.
Informações relevantes: os coeficientes são
Passo 2
Primeiro precisamos verificar se existe solução inteira. Uma condição básica (mostrarei por que funciona nas próximas linhas) é que a equação
tem solução inteira somente se
divide
. Então calculemos o máximo divisor comum de
e
usando o algoritmo de Euclides:
Daí vem que
Passo 3
Como
e
divide
, a condição de existência é satisfeita. Logo existem soluções inteiras. Agora precisamos achar uma solução particular e, em seguida, a forma geral de todas as soluções.
Passo 4
Vamos obter uma combinação linear que produza o
e depois multiplicá-la por
para obter o lado direito. Da linha do algoritmo de Euclides temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isso nos dá imediatamente uma solução particular:
pois
. Sempre cheque: a substituição confirma que é uma solução.
Passo 5
Agora derivamos a forma geral das soluções. Se
é uma solução de
e
, então todas as soluções inteiras são dadas por
onde
é um inteiro arbitrário. A razão: substituindo essas expressões na equação, os termos adicionais se cancelam porque
quando
e
,
. Aqui
, então substituindo
e
obtemos a forma específica:
Passo 6
É sempre bom testar alguns valores de
para ganhar confiança:
Em cada caso
volta a dar
, como deve ser. Se quiser soluções com
e
não-negativos, basta procurar inteiros
que façam ambos não-negativos (aqui parece não haver
que torne ambos não-negativos, mas isso você pode checar resolvendo desigualdades lineares simples).